¿Qué hace el closedness de la proyección de $\pi : X \times Y \to Y$ significa realmente?
Que la compacidad de $X$ implica que cada proyección $\pi : X \times Y \to Y$ se cierra realmente proviene del Tubo de Lema, y de una caracterización de cerrado (continua) de los mapas.
Tubo De Lema. (Ver Lema 26.8 de Munkres de la Topología.) Si $X$ es compacto, $Y$ es cualquier espacio, $y_0 \in Y$, e $W \subseteq X \times Y$ está abierto tal que $X \times \{ y_0 \} \subseteq W$, entonces existe un abierto de vecindad $V$ $y_0$ tal que $X \times V \subseteq W$.
Una función continua $f : X \to Y$ es cerrado iff para cada una de las $y \in Y$ y cada una de las $U \subseteq X$ $f^{-1} [\{ y \}] \subseteq U$ hay una vecindad $V$ $y$ tal que $f^{-1} [V] \subseteq U$.
La reformulación de este último en el caso especial de la proyección de $\pi : X \times Y \to Y$ tenemos
- $\pi : X \times Y \to Y$ es cerrado iff para cada una de las $y \in Y$ y cada una de las $W \subseteq X \times Y$ $X \times \{ y \} = \pi^{-1} [\{y\}] \subseteq W$ hay una vecindad $V$ $y_0$ tal que $X \times V = \pi^{-1} [ V ] \subseteq W$.
Así que la afirmación de que la proyección de $\pi : X \times Y \to Y$ es cerrado para cada $Y$ es realmente sólo una reafirmación de que el Tubo Lema para $X$.
"La intuición" de la suficiencia de la declaración de
El Tubo Lema es probablemente más fácil obtener una intuición. Básicamente dice que el si $W \subseteq X \times Y$ es abierta y contiene un segmento de $X \times \{ y_0 \}$ (que es homeomórficos a $X$), entonces no puede ser demasiado "errático" o ser arbitrariamente "fino" alrededor de ese segmento.
Si $X$ es compacto, entonces a partir de la $\langle x,y_0 \rangle \in W$ hay $U_x \subseteq X$ $V_x \subseteq Y$ tal que $\langle x,y_0 \rangle \in U_x \times V_x \subseteq W$. Si $X$ es compacto, sólo necesitamos un número finito de la $U_x$s para cubrir $X$, y la intersección de la correspondiente $V_x$s producirá $V$.
Si $X$ no es compacto, se puede imaginar que el $U_x$s forma una cubierta abierta sin finito subcover, y, entonces, cuando cruzan el correspondiente $V_x$s una familia de la $U_x$s que hacer la cubierta de $X$, usted podría no obtener un conjunto abierto como se desee.
El problema es, entonces, elegir un espacio adecuado para presenciar el último, por cada falta de espacio compacto.
La codificación de la información acerca de una apertura de la tapa en un espacio auxiliar
Que el closedness de cada proyección $\pi : X \times Y \to Y$ implica que la compacidad descansa sobre la construcción de un auxiliar de espacio topológico $Y$ para una determinada familia $\mathcal{U}$ de subconjuntos abiertos de $X$ de tal manera que las propiedades del espacio $Y$ y la proyección de $\pi : X \times Y \to Y$ codificar datos acerca de la familia $\mathcal{U}$. En particular, $\pi$ cerrado implica que cualquiera de las $\mathcal{U}$ no cubre $X$, o que una subfamilia finita cubre $X$.
La construcción real de $Y$ es un poco sintético, y no se puede dar a la intuición. Pero podemos tratar de escoger aparte de algunas ideas.
Considerar el caso general de un espacio topológico $X$, y una familia $\mathcal{U}$ de subconjuntos abiertos de $X$. Consideramos el conjunto $Y = X \cup \{ \mathord{*} \}$ donde $\mathord{*} \notin X$ con la topología generada por la base que consta de
- $\{ x \}$ por cada $x \in X$; y
- todos los conjuntos de la forma $\{ \mathord{*} \} \cup ( X \setminus ( U_1 \cup \cdots \cup U_n ) )$ donde $U_1 , \ldots , U_n \in \mathcal{U}$.
Hecho Central. Para $A \subseteq Y$, $\mathord{*} \in \overline{A}$ iff $A$ no puede ser cubierto por un número finito de conjuntos de $\mathcal{U}$.
Si la proyección de $\pi : X \times Y \to Y$ es cerrado, luego, en particular, la implicación $$\mathord{*} \in \overline{ \pi[\Delta] } \Rightarrow \mathord{*} \in \pi[ \overline{\Delta} ]$$ holds, where $\Delta = \{ \langle x,x \rangle : x \X \} \subseteq X \times Y$.
Como $\pi[\Delta] = X$, $\mathord{*} \in \overline{\pi[\Delta]}$ fib $X$ no puede ser cubierto por un número finito de conjuntos de $\mathcal{U}$.
-
Ahora $\mathord{*} \in \pi [ \overline{\Delta} ]$ fib hay un $x \in X$ tal que $\langle x , \mathord{*} \rangle \in \overline{\Delta}$.
Para $x \in X$ si $x \in \bigcup \mathcal{U}$, luego tome $U \in \mathcal{U}$ contiene $x$. Claramente $U$ es una vecindad de a$x$$X$, e $\{ \mathord{*} \} \cup ( X \setminus U )$ es una vecindad de a$\mathord{*}$$Y$$( U \times ( \{ \mathord{*} \} \cup ( X \setminus U ) ) ) \cap \Delta = \varnothing$, lo $\langle x , \mathord{*} \rangle \notin \overline{\Delta}$. Por otro lado, si $x \notin \bigcup \mathcal{U}$, entonces como cada abierto barrio de $\mathord{*}$ contiene $x$ se sigue que $\langle x , \mathord{*} \rangle \in \overline{\Delta}$.
Así, por $x \in X$ tenemos que $\langle x,\mathord{*} \rangle \in \overline{\Delta}$ fib $x \notin \bigcup \mathcal{U}$, y por lo $\mathord{*} \in \pi[\overline{\Delta}]$ fib $\bigcup \mathcal{U} \neq X$.
Poner esto juntos, para $\pi$ a ser cerrado, debe ser el caso de que cualquiera de las $X$ puede ser cubierto por un número finito de conjuntos de $\mathcal{U}$, o que $\mathcal{U}$ no cubre $X$.
Podemos utilizar el mismo espacio de $Y$ a investigar cómo el Tubo Lema para $X$ implica la compacidad de $X$. Tenga en cuenta que $W = ( X \times Y ) \setminus \overline{ \Delta }$ es un subconjunto abierto de $X \times Y$. Para el Tubo de Lema para $X$ a celebrar, debe ser que la implicación
$X \times \{ \mathord{*} \} \subseteq W$ ⇒ $X \times V \subseteq W$ para algunos de vecindad $V$ $\mathord{*}$
sostiene.
- Uno puede mostrar que $X \times \{ \mathord{*} \} \subseteq W$ fib $\bigcup \mathcal{U} = X$. (En particular, como en el anterior, $\langle x, \mathord{*} \rangle \in \overline{\Delta}$ fib $x \notin \bigcup \mathcal{U}$.)
- Si $V$ es una vecindad de a $\mathord{*}$ tal que $X \times V \subseteq W$, sin pérdida de generalidad hay $U_1 , \ldots , U_n \in \mathcal{U}$ tal que $V = \{ \mathord{*} \} \cup ( X \setminus ( U_1 \cup \cdots \cup U_n ) )$. A continuación, se deduce que el $U_1 \cup \cdots \cup U_n = X$.
