Es bien conocido este siguiente $$\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^x=\sqrt{ab}(a,b>0)$$ y también ostenta este general $$\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a^{\frac{1}{x}}_{n}}{n}\right)^x=\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}},(a_{i}>0,i=1,2,\cdots,n)$$
y algunas horas atrás,me encontré con este bonito y Duro límite
$$\lim_{x\to+\infty}x\left[\left(\dfrac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^x-\sqrt{ab}\right]=\dfrac{\sqrt{ab}}{8}\left(\ln{a}-\ln{b}\right)^2$$
mi prueba
$$a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln{a}}+e^{\frac{1}{x}\ln{b}}=1+\dfrac{1}{x}\ln{a}+\dfrac{1}{2x^2}\ln^2{a}+1+\dfrac{1}{x}\ln{b}+\dfrac{1}{2x^2}\ln^2{b}+o(1/x^2)$$
entonces
\begin{align*} \left(\dfrac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^x&=\left[1+\dfrac{1}{2x}\ln{ab}+\dfrac{1}{4x^2}\left(\ln^2{a}+\ln^2{b}\right)+o(\frac{1}{x^2})\right]^x\\ &\approx e^{x\ln{\left(1+\dfrac{1}{2x}\ln{ab}+\dfrac{1}{4x^2}\left(\ln^2{a}+\ln^2{b}\right)\right)}}\\ &\approx e^{x\left(\dfrac{1}{2x}\ln{ab}+\dfrac{1}{4x^2}\left(\ln^2{a}+\ln^2{b}\right)\right)}\\ &=\cdots\cdots\\ &\approx \sqrt{ab}\left(1+\dfrac{1}{8x}\left(2\ln^2{a}+2\ln^2{b}-\ln^2{(ab)}\right)\right) \end{align*} así
$$\lim_{x\to+\infty}x\left[\left(\dfrac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^x-\sqrt{ab}\right]=\dfrac{\sqrt{ab}}{8}\left(\ln{a}-\ln{b}\right)^2$$
Mi pregunta:
$$\lim_{x\to+\infty}x\left[\left(\dfrac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a^{\frac{1}{x}}_{n}}{n}\right)^x-\sqrt{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\right]=?$$