¿Por qué un gobernante seguir diapositiva después de derrocar?

Question

Yo estaba jugando con una pequeña regla que en varias ocasiones el derrocamiento, vea el diagrama de abajo:

El gobernante, de pie $h$ alto y aproximadamente un compás regular, se impide la libre rotación fija ridge (un libro, por lo general) en el punto de $O$ y luego se deja tumbar hasta que llegue el $xz$-plano. Mi escritorio y el gobernante ambos tienen bastante suave, las superficies duras y no puedo dejar de notar que después del impacto de la regla desliza a lo largo de la superficie de la $x$-dirección para un poco hasta que se detuvo por la fricción.

Esto sugiere que el gobernante tenía el impulso de la $x$-dirección, después del impacto con el escritorio de la superficie. Pero no puedo trabajar fuera de donde viene. Es parte de la rotación de la energía cinética de la regla adquiridos durante el derrocamiento de convertir a la traducción de energía cinética en el momento del impacto? Si es así, ¿cómo?

Las fuerzas que actúan sobre el centor de la gravedad de la regla se muestran en la mano derecha de la esquina superior del diagrama. Obviamente es el momento $\frac{Th}{2}$ que está causando la rotación alrededor de $O$ y la ecuación de movimiento es:

$$\frac{Th}{2}=I\ddot{\theta}.$$

Con:

$$T=mg\sin\theta.$$

Y:

$$\ddot{\theta}=\omega\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} \theta}.$$

Así:

$$\frac{mgh}{2}\sin\theta \mathrm{d}\theta=I\omega \mathrm{d}\omega.$$

Integrado entre el$0,0$$\frac{\pi}{2},\omega$, obtenemos:

$$K=\frac{I\omega^2}{2}=\frac{mgh}{2}.$$

$\frac{mgh}{2}$ es, por supuesto, simplemente la cantidad de energía potencial que ha sido convertida en energía cinética mediante la reducción de la rueda Dentada de$h/2$$0$.

Ahora echemos un vistazo a punto de $O$:

En $O$, $mg\cos\theta$ tiene que ser contrarrestado a prevenir la regla de movimiento radial (de $O$ a la rueda Dentada o viceversa).

La descomposición se obtiene:

$$F_x=mg\cos\theta \sin\theta.$$

Pero en $\theta=\pi /2$, $F_x$ se desvanece, por lo que no puede ser que la fuerza que es responsable de cualquier movimiento horizontal.

Claramente me estoy perdiendo algo, pero ¿qué es?

Answer 1

OK, ya que es una zona tranquila que la noche del viernes y ya estoy supuestamente experimental científico he grabado en vídeo mi regla mientras se estaba cayendo. Mi teléfono no es de lento movimiento (probablemente, y yo no sé cómo funciona!) de modo que el tiempo de resolución es limitada, pero aquí están cuatro de los sucesivos fotogramas del vídeo.

Debería ser obvio que el borde inferior de la regla de no dejar el objeto que está apoyada. He trazado una línea roja en las imágenes para mostrar esto, aunque no estoy seguro de qué tan clara es en estas imágenes. La velocidad de fotogramas es de 30 fps, por lo que las imágenes se muestra la cubierta de sólo 0,1 segundos. Creo que este es un tiempo demasiado corto para que el ojo siga el movimiento del borde inferior de la regla. No podía ver el borde inferior alejándose cuando simplemente observando la regla de otoño. De hecho, yo estaba un poco sorprendido de ver en el video.

Tomo nota de que la regla comienza a alejarse entre alrededor de 45° a 30° con la horizontal, que concuerda bastante bien con la de Michael estimación de 41.8°.

Answer 2

Como señaló John Rennie en los comentarios, habrá un punto como la regla de las cascadas, donde se pierde el contacto con la cresta y comienza a deslizarse hacia la derecha. La idea aquí es que si el gobernante eran para mantener su punto de pivote fijo, entonces en algún punto, la fuerza aplicada por el punto de pivote tendría que pasar de tener un componente del derecho a tener un componente a la izquierda (es decir, tirando de la CM de la espalda en lugar de empujar hacia fuera.) Desde la "repisa" especificado en el OP sólo puede ejercer una fuerza hacia la derecha, este será el punto de que la base de la regla comienza a deslizarse fuera de la repisa. (Esto es similar en espíritu a la clásica "disco se desliza hacia abajo de un sin fricción hemisferio" problema).

Para probar esto, usamos la conservación de la energía para encontrar la regla de la velocidad angular en función de $\theta$. Esto se convierte en $$ \frac{1}{2} I \omega^2 = mg \frac{h}{2} ( 1- \cos \theta) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} h^2 \omega^2 = gh (1 - \cos \theta) \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{3g}{h}(1 - \cos \theta). $$ Tomando la derivada de ambos lados con respecto al tiempo, obtenemos $$ 2 \omega \alpha = \frac{3 g}{h} \sin \theta \omega \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{3gh}{2} \sin \theta $$

La aceleración lineal del centro de masa es, por tanto, $$ \vec{a} = \frac{h}{2} (- \omega^2 \hat{r} + \alpha \hat{\theta}) = - \frac{3g}{2}(1 - \cos \theta) \hat{r} + \frac{3g}{4} \sin \theta \hat{\theta} $$ usando coordenadas polares (con $\theta = 0$ en el vertical y el aumento de las agujas del reloj.) En términos de las componentes Cartesianas, tenemos $\hat{r} = \cos \theta \hat{y} + \sin \theta \hat{x}$$\hat{\theta} = \cos \theta \hat{x} - \sin \theta \hat{y}$, así que dicho todo esto se convierte en \begin{align*} \vec{a} &= - \frac{3g}{2}(1 - \cos \theta) (\cos \theta \hat{y} + \sin \theta \hat{x}) + \frac{3g}{4} \sin \theta (\cos \theta \hat{x} - \sin \theta \hat{y}) \\ &= \frac{3g}{2}\left((\cos \theta - 1) + \frac{1}{2} \cos \theta \right) \sin \theta\hat{x} + \frac{3g}{2}\left((\cos \theta - 1) \cos \theta - \frac{1}{2} \sin^2 \theta \right) \hat{y}. \end{align*}

Vemos que $a_x = 0$ al $\frac{3}{2} \cos \theta - 1 = 0$ o $\cos \theta = \frac{2}{3}$ o $\theta \approx 48.2^\circ$. Por lo tanto, una vez que la regla cae pasado este ángulo, la fuerza neta sobre el centro de masa debe estar a la izquierda para mantenerlo en movimiento en un arco circular. En una perfecta mesa sin fricción, la regla que deje el "saliente" en este punto, desde la repisa es incapaz de proporcionar una fuerza en esta dirección. En realidad, la fricción puede ser capaz de mantener la parte inferior de la regla en lugar de un poco más de este, haciendo que el ángulo en el que la regla de las hojas de la repisa mucho más cerca de la horizontal.