En el ejemplo del dilema del prisionero, sabemos que sólo hay un equilibrio de Nash.
Eso lo confiesan los dos.
¿Es posible que haya dos equilibrios de Nash en un mismo ejemplo?
¿Puede darme un ejemplo de este tipo?
Sí, en el equilibrio de Nash ninguno de los jugadores gana más desviando su estrategia del punto de equilibrio. Por ejemplo, en la siguiente tabla de recompensas para dos jugadores, existen "muchos" equilibrios:
$$\left[ \begin{array}{ccc} 1/1 & 0/0 & 0/0& 0/0& 0/0& 0/0 \\ 0/0& 0/0 & 0/0& 0/0& 0/0& 0/0 \\ 0/0 & 0/0 & 0/0& 0/0& 0/0& 0/0 \\ 0/0 & 0/0& 0/0&1/1 & 0/0& 0/0 \\ 0/0 & 0/0 & 0/0& 0/0& 0/0& 0/0 \\ 0/0 & 0/0& 0/0& 0/0& 0/0 &1/1 \end{array} \right]$$
La mayoría de los juegos tienen un número impar de equilibrio de Nash. Por ejemplo en el juego de coordinación de abajo: $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline P1\backslash P2 & PC & MAC \\ \hline PC & 2,2 & 0,0 \\ \hline MAC & 0,0 & 3,3 \\ \hline \end{array} $$ Tiene 3 equilibrios de Nash: (PC,PC), (MAC,MAC) y también uno en estrategias mixtas donde cada jugador elige PC con probabilidad 3/5 y MAC con probabilidad 2/5.
Considere 3 cazadores, Bob, Charlie y Doug
con las siguientes opciones de cosas para cazar:
Un alce: vale 9 unidades de comida Un lobo: vale 4 unidades de comida Un conejo: vale 1,5 unidades
Ahora bien, hay muchos conejos, así que si un cazador opta por cazar un conejo, seguro que conseguirá su conejo.
Un lobo requiere al menos 2 cazadores, si 2 cazadores lo cazan cada uno entonces cada uno obtiene 2 unidades de comida, pero si los 3 cazadores van por el lobo entonces la recompensa es sólo 1,3333 unidades de comida por lo que es más ventajoso ir por un conejo individual,
Por último nosotros, los alces, requerimos de los 3 cazadores para ser cazados con éxito, naturalmente si son cazados cada cazador obtiene 3 unidades de comida lo que resulta en el mayor payoof pero el mayor riesgo.
Si establecemos nuestra matriz de pago tridimensional presentando sus cortes
Supongamos que Bob caza un conejo (Bob = primer índice, Charlie = segundo índice, Doug = tercer índice) $$ \left( \begin{array}{ccc} & R & W & M \\ R & 1.5,1.5,1.5 & 1.5,0,1.5 & 1.5,0,1.5 \\ W & 1.5,1.5,0 & 1.5,2,2 & 1.5,0,0 \\ M & 1.5,1.5,0 & 1.5,0,0 & 1.5,0,0 \end{array} \right)\ $$
Supongamos que Bob caza un lobo
$$ \left( \begin{array}{ccc} & R & W & M \\ R & 0,1.5,1.5 & 2,2,1.5 & 0,0,1.5 \\ W & 2,1.5,2 & 1.33,1.33,1.33 & 2,2,0 \\ M & 0,1.5,0 & 2,2,0 & 0,0,0 \end{array} \right)\ $$
Supongamos que Bob caza un alce
$$ \left( \begin{array}{ccc} & R & W & M \\ R & 0,1.5,1.5 & 0,0,1.5 & 0,0,1.5 \\ W & 0,1.5,0 & 0,2,2 & 0,0,0 \\ M & 0,0,0 & 0,0,0 & 3,3,3 \end{array} \right)\ $$
Ahora hay 3 estrategias de equillibrio para los jugadores:
Nadie confía en nadie así que todos van de conejo
Alguien espera que al menos una persona, pero no la otra, sea digna de confianza, por lo que siguen el camino del lobo
Los resultados de la confianza total en el alce
Ahora bien, si Bob, Charlie y Doug adoptan estrategias aleatorias, el pago esperado para Bob g(y el pago esperado para Charlie y Doug también por simetría es)
$$ 1.5 \frac{9}{27} + 2 \frac{4}{27} + \frac{4}{3} \frac{1}{27} + 3 \frac{1}{27} = 0.95...$$
Llego un poco tarde a la fiesta, pero efectivamente se pueden tener dos equilibrios de Nash.
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & L & R \\ \hline T & 1,1 & 0,0 \\ \hline B & 0,0 & 0,0 \\ \hline \end{array} $$
Aquí hay precisamente dos equilibrios (puros), incluso si se permiten estrategias mixtas: $\{T,L\}$ y $\{B,R\}$ .
Un poco más en profundidad, para un juego "genérico" de forma estratégica finita (para nuestros propósitos, genérico = juegos sin empates en los resultados), siempre se tendrá un número finito e impar de equilibrios. De hecho, cuando hay una rareza como un número par de equilibrios, suele significar que uno no es "estable" en algún sentido. Aquí, $\{B,R\}$ es el "equilibrio del teólogo": si te la juegas, es mejor que tengas total fe que tu oponente también te sigue el juego. Si tienes alguna duda, hay una alternativa mejor.
Dependiendo de su nivel de formación/interés, otra forma de explicar la rareza del ejemplo anterior es observar que $\{T,L\}$ mano temblorosa perfecta , mientras que $\{B,R\}$ no lo es.
En general, puede haber un número exponencial de equilibrios de Nash en un juego no degenerado. Para un ejemplo sencillo:
Si las matrices de pago de ambos jugadores son las $n \times n$ matriz de identidad entonces el juego tiene $2^{n}-1$ Equilibrios de Nash. Todos estos equilibrios de Nash son simétricos y corresponden a todos los subconjuntos no vacíos del conjunto de estrategias puras $\{1,\ldots,n\}$ . En cada equilibrio, ambos jugadores se mezclan uniformemente sobre el mismo subconjunto no vacío de $\{1,\ldots,n\}$ .
Así que para $n=3$ El juego es:
Hay $2^3-1=7$ equilibrios de la siguiente manera (EP significa expected payoff):
1 P1: (1) 1/3 1/3 1/3 EP= 1/3 P2: (1) 1/3 1/3 1/3 EP= 1/3
2 P1: (2) 0 1/2 1/2 EP= 1/2 P2: (2) 0 1/2 1/2 EP= 1/2
3 P1: (3) 1/2 0 1/2 EP= 1/2 P2: (3) 1/2 0 1/2 EP= 1/2
4 P1: (4) 0 0 1 EP= 1 P2: (4) 0 0 1 EP= 1
5 P1: (5) 1/2 1/2 0 EP= 1/2 P2: (5) 1/2 1/2 0 EP= 1/2
6 P1: (6) 0 1 0 EP= 1 P2: (6) 0 1 0 EP= 1
7 P1: (7) 1 0 0 EP= 1 P2: (7) 1 0 0 EP= 1La imagen y el resultado de arriba fueron generados con nuestro software:
http://www.gametheoryexplorer.org/
Para el mejor límite inferior conocido sobre el número máximo de equilibrios de Nash en un juego bimatriz no degenerado (que es mayor que $2^n-1$ para $n>5$ ) ver:
B. von Stengel (1999), New maximal numbers of equilibria in bimatrix games. Discrete and Computational Geometry 21, 557-568.
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Aquí hay algunos ejemplos: es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_de_Nash#Juego_de_coordinación
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es.wikipedia.org/wiki/Battle_of_thesexes_(game_theory)
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¿No es una estrategia de dominio puro? Quiero decir que también es un equilibrio de Nash, pero ¿no llamamos a esto sólo una estrategia dominante pura?