Problemas como estos son generalmente susceptibles a la fracción parcial de descomposición.
Desde mi experiencia con el examen de problemas como estos, una vez que hacemos el parcial fracciones (que se puede hacer con bastante rapidez como se describe a continuación), o bien podemos hacer algún tipo de una suma telescópica, o escribir el resultado como una combinación de bien conocidos de la serie. En algunos casos, usted puede rápida y mecánicamente aplicar estimaciones conocidas para bien conocidos de la serie y encontrar la suma. Por supuesto, cada problema es diferente y puede que tenga que ser creativo.
Tratemos de que se acercan a su problema.
Paso 1: División en Fracciones Parciales
Puede intentar lo siguiente que debe dar el parcial fracción de descomposición con bastante rapidez.
Conjunto
$$ \dfrac{n}{2(2n-1)(2n+1)(2n+2)} = \dfrac{A}{2n-1} + \dfrac{B}{2n+1} + \dfrac{C}{2n+2}$$
Multiplicando por $\displaystyle 2n-1$ y ajuste de $\displaystyle n=1/2$ da
$\displaystyle A = \dfrac{1/2}{2 \times 2 \times 3} = \dfrac{1}{24}$.
Multiplicar el original por $\displaystyle 2n+1$ y establezca $\displaystyle n=-1/2$. Esto nos da $B$.
$\displaystyle B = \dfrac{-1/2}{2 \times -2 \times 1} = \dfrac{1}{8}$
Multiplicar el original por $\displaystyle 2n+2$ y establezca $\displaystyle n = -1$. Esto nos da
$\displaystyle C = \dfrac{-1}{ 2 \times -3 \times -1 } = \dfrac{-1}{6}$.
Así
$$ \dfrac{n}{2(2n-1)(2n+1)(2n+2)} = \dfrac{1}{24}\left(\dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{3}{2n+1} - \dfrac{4}{2n+2}\right)$$
Al parecer esto es debido a Heaviside: http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_cover-up_method
Paso 2: Sumar la serie
Ahora para hallar la suma, puede utilizar el siguiente, que no requiere ninguna inteligente manipulaciones algebraicas y así se puede hacer con bastante rapidez.
$$H_n = \sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{j} = \log n + \gamma + \mathcal{O}\left(\dfrac{1}{n}\right)$$
Esto nos da
$$\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{2j - 1} = H_{2n} - \dfrac{1}{2} H_n = \log 2 + \frac{\log n}{2} + \gamma/2 + \mathcal{O}\left(\dfrac{1}{n}\right)$$
Por lo tanto su suma a $n$ términos
$$\dfrac{1}{24}\left(\log 2 + \dfrac{\log n}{2} + \gamma/2 + 3\log 2 + 3 \dfrac{\log (n+1)}{2} - 3 + 3 \gamma/2 - 2\log (n+1) - 2\gamma +2\right) + \mathcal{O}\left(\dfrac{1}{n}\right)$$
Desde $\log(n+1) = \log n + \mathcal{O}\left(\dfrac{1}{n}\right)$ tenemos que la suma de n términos es
$$\dfrac{1}{24}(4 \log 2 -1) + \mathcal{O}\left(\dfrac{1}{n}\right)$$
Como $\displaystyle n \to \infty$,
el límite es
$$ \dfrac{1}{24}(4 \log 2 - 1)$$
Nota: Como J. M de los puntos en los comentarios de abajo, un método general similar a la anterior se puede encontrar en Abramowitz y Stegun del libro:
La técnica que se utiliza para sumar el
la serie se describe en Abramowitz y
Stegun. (Armónica de los números y
digamma funciones son trivialmente
relacionados).
Nota 1: Como Mike puntos, fuera, hay una versión actualizada del libro está disponible aquí: http://dlmf.nist.gov/
