Cómo desplazar dos CDF para maximizar el número de cruces

Question

Así que supongamos que tengo dos continua, monótona creciente en función $F$ $G$ definido en un intervalo de $I_F=\{x:0<F(x)<1\}=(l_F,u_F)$ $I_G=\{x:0<G(x)<1\}=(l_G,u_G)$ que puede ser calculado, pero no tienen una forma analítica.$(l_G,u_G)$ y $(l_F,u_F)$, sin embargo, son conocidos.

Considere la función:

$$M=\max_{a\in I_A}S(F,G,a)$$

--donde $S(F,G,a)$ cuenta el número de veces $F(x)$ $G(x+a)$ cruz--

Dado $F$$G$$I_A$, me gustaría saber si $M>1$. El problema es que $F(x)$ $G(x+a)$ son muy caros para evaluar. Lo que quiero decir es computing $F$ $G$ para una cuadrícula de valores de $x$ $I_F$ $I_G$ es capaz de hacer-pero tratando de que todos los valores de $G(x+a)$ para todos los turnos $a\in I_A$ (el ingenuo solución) es definitivamente no.

¿Cuál es la manera más inteligente de abordar este problema?

P. S.: @Modo: si crees que este no es el lugar correcto para preguntar este tipo de pregunta, por favor hágamelo saber y voy a tratar de encontrar un lugar mejor. Gracias de antemano!

Answer 1

Un cruce $$ F(x) = G(x + a) $$ puede ser escrita como $$ G^{-1}(F(x)) = x + a $$ o $$ a = G^{-1}(F(x)) - x. $$ Para contar el número de veces $y = F(x)$ $y = G(x+a)$ cruz es equivalente a contar el número de veces $y = a$ $y = G^{-1}(F(x)) - x$ cruz.

La función de $S(a)$ cambios sólo al $y = a$ pasa a través de algunas extremo de $y = G^{-1}(F(x)) - x$, que es $$ F'(x) = G'(G^{-1}(F(x))) $$ o el uso de $z = F(x)$ $$ F'(F^{-1}(z)) = G'(G^{-1}(z)) \etiqueta{*} $$ Si hay al menos una solución a la $(*)$ y que es un extremo (no un punto de inflexión), a continuación, $S$ cambios por 2 al $y = a$ pasa a través del extremo.

Considere un ejemplo $$ F(x) = \tanh x\\ G(x) = \frac{2\arctan \pi x}{\pi} $$ La inspección de sus gráficas se muestran tres puntos de intersección ( $S = 3$ $a = 0$).

La ecuación de $(*)$ se convierte en $$ 1 - z^2 = 1 + \cos \pi z $$ con raíces $$ z = \pm 1,\quad z \approx \pm 0.629847 $$ El $z = \pm 1$ raíces son espurios, pero el $z = \pm 0.629847$ son verdaderas y aquellos que corresponden a $x = F^{-1}(z) \approx \pm 0.741163$.

Finalmente, la evaluación de $G^{-1}(F(x)) - x$ no le da el deseado de valores críticos para la $a$: $$ un \approx \pm 0.256836 $$ Aquí una foto de la $G(x)$ vs $F(x - 0.256836)$