Deje $\mathbb K$ ser un campo (de característica 0, digamos), $\mathfrak g$ una Mentira bialgebra $\mathbb K$, e $\mathcal U \mathfrak g$ su costumbre universal que envuelve el álgebra. A continuación, el coalgebra estructura en $\mathfrak g$ es equivalente a un co-Poisson estructura en $\mathcal U \mathfrak g$, es decir, un mapa de $\hat\delta : \mathcal U \mathfrak g \to (\mathcal U \mathfrak g)^{\otimes 2}$ la satisfacción de algunos axiomas. Una formales de cuantización de $g$ es un álgebra de Hopf $\mathcal U_\hbar \mathfrak g$ $\mathbb K[[\hbar]]$ (topológicamente libre como un $\mathbb K[[\hbar]]$-módulo) que se deforma $\mathcal U \mathfrak g$, en el sentido de que viene con un isomorfismo $\mathcal U_\hbar \mathfrak g / \hbar \mathcal U_\hbar \mathfrak g \cong \mathcal U \mathfrak g$, y, además, que deforma la comultiplication en la dirección de $\hat\delta$: $$\Delta = \Delta_0 + \hbar \hat\delta + O(\hbar^2),$$ where $\Delta$ is the comultiplication on $\mathcal U_\manejadores \mathfrak g$ and $\Delta_0$ is the (trivial, i.e. which $\mathfrak g$ is primitive) comultiplication on $\mathcal U\mathfrak g$. This makes precise the "classical limit" criterion: "$\lim_{\manejadores \to 0} \mathcal U_\manejadores \mathfrak g = \mathcal U \mathfrak g$"
Me estoy preguntando acerca de "los otros" clásicos límite de $\mathcal U_\hbar \mathfrak g$. Recordemos que $\mathcal U\mathfrak g$ es filtrada por declarar que $\mathbb K \hookrightarrow \mathcal U\mathfrak g$ tiene el grado $0$ y $\mathfrak g \hookrightarrow \mathcal U\mathfrak g$ tiene el grado $\leq 1$ (esto genera $\mathcal U\mathfrak g$, y así define la filtración sobre todo). A continuación, los asociados gradual álgebra de $\mathcal U\mathfrak g$ es la simétrica (es decir, el polinomio) álgebra $\mathcal S\mathfrak g$. Por otro lado, la Mentira se estructura en $\mathfrak g$ induce una estructura de Poisson en $\mathcal S\mathfrak g$, uno debe entender $\mathcal U \mathfrak g$ como una "cuantificación" de $\mathcal S\mathfrak g$ en la dirección de la estructura de Poisson. Alternativamente, vamos a $k$ sobre los no-cero elementos de $\mathbb K$, y considerar el endomorfismo de $\mathfrak g$ dado por la multiplicación por $k$. A continuación, para$x,y \in \mathfrak g$,$[kx,ky] = k(k[x,y])$. Deje $\mathfrak g_k$$\mathfrak g$$[,]\_k = k[,]$. A continuación, $\lim\_{k\to 0} \mathcal U\mathfrak g_k = \mathcal S\mathfrak g$ con la deseada estructura de Poisson.
Sé que hay functorial cuantizaciones de Mentira bialgebras, y estos cuantizaciones dar lugar a la Drinfeld-Jimbo los grupos cuánticos. Así que, presumiblemente, sólo puedo stick $\mathfrak g_k$ en uno de estos, y ver lo que sucede, pero estos functors son difíciles de calcular, en el sentido de que yo no conozco a ninguno de ellos de forma explícita. Así:
¿Cómo debo entender al "otro" clásico límite de $\mathcal U_\hbar \mathfrak g$, la que da una conmutativa (pero no cocommutative) álgebra?
Si hay algún orden en el mundo, en lo finito-dimensional caso debe dar el doble de a $\mathcal U(\mathfrak g^\*)$ donde $\mathfrak g^\*$ es la Mentira de álgebra con el soporte dado por la Mentira de cobracket en $\mathfrak g$. En efecto, B. Enriquez tiene una serie de artículos (que estoy en el proceso de lectura) con resúmenes como "functorial de cuantización que respeta dobles y dobles".
En la respuesta que no funciona: no es no trivial filtrada $\hbar$-formales deformación de $\mathcal U\mathfrak g$. Si usted demanda que el comultiplication $\Delta$ respecto a la filtración en $\mathcal U\mathfrak g \otimes \mathbb K[[\hbar]]$ y $\Delta = \Delta_0 + O(\hbar)$, entonces el coassociativity restricciones implican que $\Delta = \Delta_0$.
Esto hace que sea difícil de hacer las $\mathfrak g \mapsto \mathfrak g_k$ truco, así. La mayoría de los ingenuos cosa que da a los términos de grado $k^{-1}$ en la descripción de la comultiplication.
