El teorema de la "si $G/Z(G)$ es cíclico, a continuación, $G$ es abelian" es un popular ejercicio.
Pero ¿cuál es el punto de este teorema si $G/Z(G)$ sólo puede ser cíclico si es trivial?
¿"$G/Z(G)$ Es cíclica" que en realidad aparece en otras pruebas o es sólo un popular ejercicio?
Una buena aplicación es para probar que el centro de un no-abelian no puede ser demasiado grande:
Si $G$ es un no-abelian finito grupo, a continuación,$|Z(G)| \leq \frac {1}{4} |G|$.
El contrapositivo es
Si $|Z(G)| > \frac {1}{4} |G|$, $G$ es abelian.
De hecho, $|Z(G)| > \frac {1}{4} |G|$ implica que el $G/Z(G)$ ha pedido en la mayoría de los $3$, y así es cíclico.
Esta otra pregunta es con el hecho de que $G/Z(G)$ cíclico implica que $G$ es abelian para mostrar que no abelian grupos de orden $pq$ tiene un trivial centro de Verificación de la Prueba de que un nonabelian grupo G de orden pq, donde p y q son números primos tiene un trivial centro
Digamos que usted quiere probar el siguiente.
Cada grupo $G$ de fin de $p^2$ ($p$ es una de las principales) es abelian.
Puede aplicar este resultado.
Desde $G$ $p$- grupo, tiene un no trivial centro $Z(G)$.
Por lo tanto, $|G/Z(G)|=1$ o $p$.
Por lo tanto, $G/Z(G)$ es cíclico y $G$ es abelian.
Hay muchas otras aplicaciones.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
