Por qué $ \int^{+\infty}_{-\infty} x \, dx \neq 0 $

Question

Vamos indebida de las integrales y las pruebas para la convergencia en mi Calc II curso. Durante una conferencia, mi profesor nos advirtió de tener precaución al tomar las integrales desde el infinito negativo hasta el infinito.

Su ejemplo fue: $$ \int^{+\infty}_{-\infty} x \, dx $$

Entiendo que la función es definitivamente no es convergente, pero mi intuición sería que la integral de $-\infty \rightarrow 0$ sería igual a $-\infty$, y del mismo modo la parte de$0 \rightarrow \infty$$+\infty$, por lo que uno podría pensar que los positivos y los negativos partes cancelan, en representación de la integral para la igualdad de $0$.

Pero, el profe dejó muy en claro que este no es el caso, y que vamos a aprender a lidiar con la "desagradable" integrales como este en el futuro los cursos de análisis real. He estado tratando de encontrar una explicación bastante simple que un primer año de pregrado como yo en realidad iba a entender, pero no hubo suerte.

Yo siendo una especie de no aceptar el presente como en el de no ser igual a cero, como las dos partes de crecer como $O(x^{-1})$, por lo que no puedo entender por qué no se anulan.

Ninguna idea sobre esto se agradece.

PD: entiendo que si uno ciegamente sigue la regla de que ambos deben converger para el conjunto de la integral converge. Pero, yo soy el tipo de persona que siempre se pregunta por qué algo es.

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Mis respuestas difieren de las otras respuestas, porque se trata de una muy estrechamente con la convergencia de las matemáticas superiores.

Todo se reduce a lo que significa para un inadecuado integral a converger, en un sentido. Es (casi siempre) en el caso que nos dicen

$$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{d}x$$

converge iff

$$\lim_{a \to -\infty}\lim_{b \to \infty}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$$

converge, que es lo que Frank Lu dice en su respuesta. Parece que quieren que sea definido como $$\lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x,$$

lo que pasa que convergen en el Valor Principal de Cauchy sentido (de hecho, ese es el Valor Principal de Cauchy de esta integral). Cauchy Principales Valores son comunes en matemática superior, especialmente en el análisis complejo de los residuos y del cálculo..

Usted podría preguntar, ¿por Qué no podemos definir inadecuada integración para alinear con Cauchy Valores Principales? Que también es una buena pregunta, y yo creo que depende de lo que uno quiere de sus integrales. El gran problema de Cauchy Principales Valores es que son muy dependientes de las coordenadas. Si usted "se desplazó el centro de" a $1$ en lugar de $0$, se obtiene una respuesta diferente de la integral (divergen), es decir,

$$\lim_{a \to \infty} \int_{1-a}^{1+a}f(x)\mathrm{d}x \neq \lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a f(x)\mathrm{d}x,$$

que viole nuestra comprensión intuitiva de las integrales y de nuestro deseo de tener bien definidas las respuestas. Cauchy Principales Valores salen de las sumas de Riemann - así que llegar a este "extra convergencia" tiene un precio. Por el contrario, exigimos más estricta de la convergencia de Riemann (o Lebesgue) las integrales de ellos tiene mejor se alinean con nuestra intuición. (Normalmente! A veces, CPVs son muy útiles!)

Answer 2

Es su postura de que $\infty+(-\infty)=0$? Ese tipo de pensamiento sería problemático. Presumiblemente, $1+\infty=\infty$. Así, entonces usted tendría $1+\infty+(-\infty)=0$, que supongo que lo harían $1=0$.

Answer 3

Recuerde, $\infty$ es no un número. Así que no tiene sentido tener algo que no es un número en la parte superior e inferior de los límites de la integral. Entonces, ¿cómo podemos evitar este problema? Bueno, esa es toda la idea de Cálculo (decisiones de infinitesimals algo que podemos trabajar)

Entonces, ¿cuál es la idea de Cálculo? Así, nos fijamos en los límites. Así, a pesar de $\infty$ es no un número, podemos ver lo que sucede cuando esta integral tiene límites superior e inferior que el enfoque de infinito. Así que lo que queremos es este $$ \lim_{h \to \infty} \int_{-b}^b x \; dx $$ Así, la integral es fácil de calcular, es $x^2/2+C$, ahora lo evaluamos el uso de los límites superior e inferior, $$ \frac{b^2}{2}-\frac {(a-b)^2}{2}=0 $$ entonces tenemos $$ \lim_{h \to \infty} 0=0 $$ En ese sentido, la integral es $0$ (lo que hemos hecho anteriormente se llama la integral impropia). Sin embargo, todavía se necesita ser muy cuidadoso cuando se habla de los infinitos. Por qué? Bueno, no tiene nada de original integral de la misma... $$ \int_{-\infty}^\infty x\;dx= \int_{-\infty}^bx\;dx + \int_{b}^\infty x\;dx $$ donde $b$ es cualquier número real. Aviso de que ninguno de los de las integrales de la derecha convergen, por lo que tampoco puede la integral de la izquierda convergen! Porque en la derecha tenemos infinitos. Si estamos "obligados" a aquellos a converger, muchas de las propiedades de los reales podría ser forzado a romper hacia abajo. Así que sólo contradice el hecho de que la integral converge!

¿Cuál es la lección aquí? Es que uno sólo puede lanzar alrededor de los infinitos sin estar claro qué es lo que significa. El infinito no es un número, es un límite. Cuando nos tratan como a un número, el 'malo' que las cosas sucedan. Como se puede ver, no es suficiente para decir que las 'áreas' cancelar. Esa es una forma intuitiva de pensar sobre las cosas. Pero recuerde, la integral es un concepto independiente de las áreas. Es algo mucho más grande. Por eso, la interpretación puede trabajar en una sola dirección, que es una integral puede representar un área, pero no la otra manera alrededor. Especialmente no cuando se trata con una infinidad de áreas, porque lo que eso significa!? Esto es lo que hace hablar acerca de cualquier cosa que involucre infinitos difícil y por qué las utilizamos a menudo los límites de su lugar, donde uno puede ser muy claro acerca de lo que significa cuando uno dice cosas como 'infinito' (a menudo se refiere a un límite de algún tipo, y los límites de una definición rigurosa). Esto puede ser tedioso, pero hace las cosas claras y es la razón por la que las Matemáticas pueden ser muy interesantes. Todo esto se cubrirá en un Verdadero curso de Análisis, como su profesor dijo. Esto le da algo que esperamos!

Answer 4

Tenga en cuenta que la integral impropia

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$$

converge si y sólo si ambas

$$\int_0^{\infty}f(x)dx,\quad \int_{-\infty}^0f(x)dx$$

convergen

Answer 5

En general $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$ está definido por

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{0}f(x)\,dx + \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}f(x)\,dx$$

y no por

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}f(x)\,dx $$

Si usted podría utilizar la segunda como la definición, entonces la integral sería $0$