Dimensión de de Rham Cohomology grupos?

Question

Hay una manera simple de probar que el de Rham cohomology grupos de un pacto colector $M$ tiene dimensión finita, como $\mathbb{R}$-espacios vectoriales?

Answer 1

Hay una prueba simple que utiliza los siguientes conceptos: del Teorema de de Rham, Leray del Teorema y geodésico de la convexidad.

• En primer lugar, el uso del Teorema de de Rham interpretar de de Rham cohomology grupos de $ M $ como la gavilla cohomology grupos de la constante gavilla correspondiente a $ \mathbb{R} $.

• Equipar $ M $, con una métrica de Riemann, y el uso de la compacidad de $ M $ a de selección de un número finito de abrir la cubierta de $ \mathcal{U} = \{ U_{1},\ldots,U_{n} \} $$ M $, donde cada una de las $ U_{i} $ es un geodesically subconjunto convexo.

• Cada una de las $ U_{i} $ ha trivial de Rham cohomology, como es homeomórficos para abrir un subconjunto convexo de $ \mathbb{R}^{n} $. También, la intersección de geodesically subconjuntos convexos es también geodesically convexo.

• La cubierta está abierta $ \mathcal{U} $, con lo que satisface las condiciones para la aplicación de Leray del Teorema, por lo que uno puede calcular la Čech cohomology grupos que corresponden a $ \mathcal{U} $, que son simplemente la de Rham cohomology grupos.

• Sin embargo, la Čech complejo consta de sólo finito-dimensional espacios vectoriales, debido a $ \mathcal{U} $ es finito y las secciones de la constante gavilla sobre cada una de las $ U_{i} $ $ \mathbb{R} $ por la conexión de geodesically subconjuntos convexos.

• Por lo tanto, el de Rham cohomology grupos de $ M $ son finito-dimensional.

Answer 2

De otra manera (aunque este definitivamente no es tan simple como Leonard) es utilizar el teorema de Hodge, que establece que si denotamos por a $\mathcal{H}^k$ el espacio vectorial de armónicos $k$formas de:

$\mathcal{H}^k(M) = \{ \alpha \in \Omega^{k}(M): \bigtriangleup\alpha = 0\}$

donde $\Omega^k(M)$ indica el $k$formularios en $M$ $\bigtriangleup$ es el Laplaciano, a continuación, en cada clase, $[\alpha] \in H^{k}(M)$ tiene un único armónico representante. Así que tenemos un espacio vectorial isomorfismo:

$\mathcal{H}^k(M) \cong H^{k}M$

y entonces podemos usar el hecho de que $\bigtriangleup$ es un operador elíptico, y el núcleo de un operador elíptico en un compacto múltiple es siempre finito dimensionales (de hecho, este es prácticamente el contenido de la primera sección de esta página de la wikipedia)