Epsilon delta prueba de un límite de problemas

Question

Estoy tratando de descifrar la palabra de Stewart, pero realmente no puedo entender nada de la epsilon delta cosas. He visto varios videos en línea y tengo una mejor comprensión, pero yo todavía no entiendo cómo hacer de las matemáticas como en realidad nadie se describe la parte. Como tengo entendido que necesito para encontrar la distancia entre x y delta que es menor que delta y mayor que cero que se coorespond a un épsilon (y).

Así que tengo el problema $$ \lim_{x \to 1}\frac{2+4x}{3}=2 $$ así que hago un poco de álgebra magia y llego $x=1$ pero a partir de ahí no estoy seguro de qué hacer.

Answer 1

La construcción de un $\epsilon$-$\delta$ la prueba suele ser exactamente opuesta a su presentación. Este debería ser un buen ejemplo. Dado $\epsilon$, usted necesita ser capaz de producir algunas de las $\delta$ tal que para todos los $x$ con $|x-1|<\delta$, $\frac{2 + 4x}{3} - 2|<\epsilon$.

¿Cómo hacer esto? Que (generalmente) la necesidad de algunos de fórmula para producir $\delta$ en términos de $\epsilon$. A fin de comenzar con la expresión que usted necesita, $$\bigg|\frac{2 + 4x}{3} - 2\bigg|<\epsilon,$$ y empezar a resolver para $x$ en términos de $\epsilon$.

Voy a dejar de trabajar fuera de los detalles aquí; es un simple algebraicas ejercicio. Al final, vas a ver algo parecido $$\bigg|x - 1\bigg| < \frac{3}{4}\epsilon.$$

Ah-hah! Ahora se ha producido una restricción en $|x-1|$ en términos de $\epsilon$. Si me dará $\epsilon$, usted puede recoger $\delta < \frac{3}{4}\epsilon$ y, como se puede verificar rápidamente, esta $\delta$ va a satisfacer la $\epsilon$ unido. De hecho, se tiene que --- es lo que la hizo.

La lección aquí, de nuevo, es que la manera de construir la prueba es al revés. Comience con lo que usted desea y backsolve para lo que usted necesita. A continuación, cuando usted escribe la prueba, usted sabe cómo elegir a $\delta$, así que usted puede comprobar rápidamente que $\lim_{x\to 1}\frac{2 + 4x}{3} = 2.$

Answer 2

Con el fin de calcular el límite de uso de $\epsilon-\delta$ tenemos que probar que:

$ \lim_{x \to 1} \frac{2+4x}{3}=2 \Longleftrightarrow ( \forall \epsilon >0) (\exists \delta >0) ( \forall x) |x-1|< \delta \Longrightarrow |\frac{2+4x}{3}-2|<\epsilon$

Así, la elección de $ \delta= \frac{3}{4}\epsilon$ obtenemos:

$ |\frac{2+4x}{3}-2|=\frac{4|x-1|}{3} <\frac{4 \delta}{3} =\epsilon$.