¿Cómo se puede refutar la paradoja de la dicotomía de Zenón utilizando las matemáticas?

Question

Una breve descripción de la paradoja tomada de Wikipedia:

Supongamos que Sam quiere tomar un autobús que está parado. Antes de poder llegar allí, debe llegar a la mitad del camino. Antes de poder llegar a la mitad del camino, debe llegar a un cuarto del camino. Antes de viajar un cuarto, debe viajar a la octava parte; antes una octava, una dieciseisava; y así sucesivamente.

Esta descripción requiere que uno complete un número infinito de tareas, lo cual Zeno sostiene es imposible. Esta secuencia también presenta un segundo problema en que no contiene una primera distancia a recorrer, ya que cualquier posible primera distancia (finita) podría dividirse por la mitad, y por lo tanto no sería la primera después de todo. Por lo tanto, el viaje ni siquiera puede comenzar.

La conclusión paradójica sería entonces que viajar sobre cualquier distancia finita no puede completarse ni comenzarse, por lo que todo movimiento debe ser una ilusión.

¿Cómo se puede refutar esto utilizando las matemáticas, ya que obviamente todos podemos movernos desde un lugar a otro?

Answer 1

No puede. No es una afirmación matemática, es una afirmación sobre la naturaleza del espacio físico.

Al menos para el primer problema, la respuesta matemática obvia es que la "distancia total" es finita, porque es la suma infinita $\sum 2^{-n}$, que converge. Pero el punto entero de la paradoja es que hace una afirmación sobre el mundo físico. Es filosóficamente difícil decir si el argumento de la serie infinita anterior realmente se puede aplicar al espacio físico. En particular, ¿es siquiera significativo subdividir una longitud física indefinidamente? ¿Son las líneas físicas fundamentalmente continuas o discretas? ¿Todas estas preguntas realmente significan algo?

No importa cuánto lo pospongas, en algún momento tendrás que cruzar el puente desde el modelo matemático al mundo real, y eso siempre será un problema filosófico, no matemático.

Answer 2

La suposición implícita aquí es que 1. cortar distancias en infinitas piezas es diferente a cortar tiempos en infinitas piezas, y/o 2. una suma infinita no puede converger. Ninguna de las dos son ciertas.

La suma de distancias $1/2+1/4+1/8+1/16...$ es igual a $1$ como se esperaba. También debemos dividir el tiempo en pasos correspondientemente pequeños: sumando intervalos de $1/2+1/4+1/8...=1$ (posiblemente escalado para la velocidad apropiada), lo cual también suma $1$. Los tiempos se suman a un tiempo finito de la misma manera en que las distancias se suman a una distancia finita. La afirmación de que uno no puede completar infinitas tareas implícitamente asume que infinitas tareas más pequeñas y más pequeñas no pueden sumarse para formar una tarea bien definida que tome tiempo finito, lo cual no es cierto.

Uno podría, por supuesto, en lugar de eso rechazar la idea de que la distancia y el tiempo pueden dividirse infinitamente de esta manera en absoluto, afirmando que el movimiento real no puede dividirse de esta manera y que la diferencia entre este experimento mental y la realidad descansa crucialmente en eso.

Answer 3

Zeno puede querer que infiramos que el tiempo necesario para completar este número infinito de tareas es infinito. Sin embargo, omite cualquier mención de la velocidad a la que se mueve el viajero. No hay nada en esta paradoja que diga que el viajero no pueda moverse a una velocidad constante, lo que simplemente significa que el tiempo que se tarda en recorrer una distancia dada es proporcional a la distancia.

Si Zeno entendía las sumas infinitas y la convergencia sería un antecedente interesante para cómo llegó a su conclusión, pero es irrelevante para las matemáticas conocidas hoy en día.

Entonces, lo que es obvio matemáticamente es que la suma infinita de las distancias de este número infinito de tareas sigue siendo una distancia finita y (para un viajero que se mueve a una velocidad constante) el tiempo que se tarda en recorrer esa distancia es proporcional y, por lo tanto, finito.

La misma conclusión se puede alcanzar incluso si la velocidad no es constante, y se puede responder utilizando cálculo, del cual Zeno no estaba familiarizado.

Para recorrer cualquier distancia, un viajero no debe tomar el camino que tomó Zeno. Hay varias respuestas a tu pregunta que comienzan con las percepciones originales de Zeno como si fueran de alguna manera cánones arraigados en la filosofía (en la comprensión de la naturaleza física) y que uno debe comenzar desde allí para comenzar a responder a la pregunta del OP. Pero empezar desde allí es tan infructuoso como atravesar la distancia en un número infinito de tareas individuales, donde incluso la primera tarea (de permitir al viajero recorrer esa primera distancia infinitesimal) se ve obstaculizada por conceptos incómodos sobre el movimiento.

Answer 4

Este es fácil; las secuencias no tienen que tener un elemento "primero", ni tampoco ningún término en una secuencia tiene que tener un elemento "siguiente".

Esta "paradoja" no es realmente diferente de confundirse sobre el hecho de que los enteros no tienen un elemento más pequeño, ni el hecho de que en los enteros extendidos, el elemento $-\infty$ no tiene un sucesor; la confusión simplemente está mejor disfrazada.

Menudo etiquetamos puntos en una secuencia con números naturales, ya que este es el caso de uso más común para la noción de una secuencia, y por lo tanto estamos acostumbrados a pensar que cualquier secuencia debe tener un primer elemento, y que cada otro punto tiene un predecesor, y viceversa cada punto es o bien el último o tiene un sucesor.

Sin embargo, si trabajamos con secuencias que no pueden ser etiquetadas de esa manera -- por ejemplo, marcando el punto medio, el punto del cuarto, el punto de la octava y así sucesivamente de nuestro recorrido, junto con la marcación de los dos extremos, y observamos que tenemos que recorrerlos en orden -- podemos cometer graves errores si los tratamos como si pudieran ser etiquetados de esa manera.

Answer 5

Mi razonamiento es el siguiente. Supongamos que le toma un total de un minuto llegar a su destino. Entonces, para llegar a la mitad del camino, le toma medio minuto. Luego, para ir el cuarto adicional de distancia, le toma un cuarto de minuto. Y etc, etc. Entonces, después de $n$ de estos pasos, llega a una distancia $1-2^{-n}$ del camino hacia donde va. Pero todo esto solo le tomó $1-2^{-n}$ minutos. Por lo tanto, la razón por la que creemos que nunca llega a su destino es que solo consideramos cuánto ha viajado antes de que se complete el primer minuto. Y correctamente concluimos que no llega antes de que se complete el minuto asignado.