¿Por qué la integral de Riemann se define únicamente en compact?

Question

Cada texto que veo dice que una función debe estar delimitado y definido en un conjunto compacto, antes de poder siquiera pensar en la integral de Riemann. Acotamiento tiene sentido, de lo contrario el Darboux sumas podría ser indefinido. Sin embargo, no veo donde es importante que la integral se puede tomar un conjunto compacto.