¿Cuál es la razón de que $\Bbb R$ no es un espacio de medida completo? ¿Se debe sólo a la cardinalidad de $\Bbb R$ ? O de otras estructuras en $\Bbb R$ ¿también juegan un papel? ¿Se puede hacer que cada subconjunto de $\Bbb R$ trivialmente medibles asignándolos a un número de un campo ordenado completo de la cardinalidad $\aleph_2$ ?
Respuestas
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jmans
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La razón dependería del argumento particular que se diera, pero todo se reduce al hecho de que (con el axioma de elección) se pueden construir conjuntos de números reales muy extraños.
También hay que ser más preciso. Hay medidas sobre el conjunto de todos los subconjuntos de $\mathbb R$ Por ejemplo, la medida de recuento. Lo que no existe es una extensión invariante por traslación de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de $\mathbb R$ . Por ello, la estructura aditiva de $\mathbb R$ es importante.
Para una interesante discusión de este asunto, junto con dos pruebas de la existencia de conjuntos no medibles, así como de lo que ocurre en otras dimensiones, véase "The joys of Haar measure".
DanV
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Hay mucha inexactitud en lo que dices. Como señala Ittay, estás hablando sólo de la medida de Lebesgue, de lo contrario, por ejemplo, escoge cualquier singleton (digamos $\{0\}$ ) y decir que $A\subseteq\Bbb R$ tiene medida $1$ si y sólo si $0\in A$ . Puede comprobar que se trata de una medida y que es $\sigma$ -aditivo, y que todo conjunto es medible.
De hecho, bajo hipótesis adicionales de teoría de conjuntos se puede demostrar que es posible que exista una medida que extienda la medida de Lebesgue y mida todos los subconjuntos de $\Bbb R$ . Pero es importante señalar que esta medida no será invariante de la traslación en general.
Entonces, ¿por qué hay conjuntos no medibles por Lebesgue? Porque hay muchos conjuntos de números reales. Y todo conjunto medible por Lebesgue es "esencialmente Borel" (en el sentido de que es igual a un conjunto Borel módulo de un conjunto nulo), pero hay muy pocos conjuntos Borel.
Además, el axioma de elección nos permite realizar todo tipo de construcciones locas. Nos permitirá elegir representantes de $\Bbb{R/Q}$ para construir un conjunto Vitali, y nos permitirá crear ultrafiltros en $\Bbb N$ que pueden traducirse (de forma canónica) a subconjuntos de $\Bbb R$ que no son medibles en general; y nos permitirá hacer mucho más.
Sí, nos gusta pensar en los conjuntos de números reales en términos de intervalos abiertos, y sus intersecciones, uniones y complementos. Pero eso no te llevará muy lejos en la comprensión de todos los subconjuntos de $\Bbb R$ . Menos aún si se asume el axioma de la elección.
Entonces, ¿qué pasa sin el axioma de la elección? Puede darse la misma situación si se supone que se cumple un fragmento "suficiente" del axioma de elección (por ejemplo, suponer que $\Bbb R$ puede estar bien ordenado, o que los ultrafiltros libres en $\Bbb N$ existen, etc.). O puede ser que todas esas cosas fallen, y que de hecho todos los conjuntos sean medibles.
Pero ahora hay que manejar con cuidado el término "medible". Puede ser que no haya ningún $\sigma$ -o puede ser que exista una extensión de la medida de Lebesgue que no sea invariante bajo traslaciones, o puede ser que realmente la medida de Lebesgue sea $\sigma$ -aditivo y mide cada conjunto (lo que requeriría supuestos adicionales de la teoría de conjuntos para lograrlo). Todas esas cosas son mucho más complicadas de manejar y entender que simplemente entender de dónde vienen los conjuntos no medibles.
Y el axioma de elección es demasiado útil para que los matemáticos lo abandonen sin más.
