Es posible obtener un ejemplo de dos matrices

Question

Es posible obtener un ejemplo de dos matrices $A,B\in M_4(\mathbb{R})$ tener $rank<2$ pero $\det(A-\lambda B)\ne 0$ i.e no es idénticamente cero del polinomio. donde $\lambda$ es indeterminado, es decir, en una variable. Quiero decir $(A-\lambda B)$ es de rango completo de la matriz, suponiendo que las entradas de $A-\lambda B$ es un polinomio de matriz lineal polinomial.

Answer 1

No. Si $\operatorname{rank} A < 2$ entonces $A = 0$ o $\operatorname{rank} A = 1$, y del mismo modo para $B$. Obviamente si $A = 0$ $$\det(A - \lambda B) = - \lambda \det B = 0$$ desde $B$ no es de rango completo, y lo mismo si $B = 0$.

Así que supongamos $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B = 1$. A continuación, la imagen de $A$ es alrededor de un espacio tridimensional $\operatorname{span} \{ v\}$ y la imagen de $B$ es alrededor de un espacio tridimensional $\operatorname{span} \{ w\}$. De ello se deduce que para cualquier $u \in \mathbb{R}^4$ $$(A - \lambda B) u = A u - \lambda B u = c v + d w \in \operatorname{span}\{v,w\}$$ para algunos $c, d$. En particular, $\operatorname{rank} (A - \lambda B)$ es en la mayoría de los dos, y por lo tanto $\det (A - \lambda B)$ es siempre cero.

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Si usted quiso decir $\operatorname{rank} A \leq 2$ $\operatorname{rank} B \leq 2$ en su lugar, entonces la respuesta es sí; acaba de tomar $$A = \begin{pmatrix} 1 \\ & 1 \\ & & 0 \\ & & & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 \\ & 0 \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{pmatrix}$$ por ejemplo. De hecho, cualquier azar par de rango-dos matrices tienen esta propiedad con 100% de probabilidad.

Answer 2

Tenga en cuenta que $rank\ A, B < 2$ significa que sus filas están 1 (Si alguno de ellos es de 0 a su pregunta tiene una respuesta trivial). Eso significa que todas las columnas de a $A$ $v, \alpha_v v, \beta_v v, \delta_v v$ y las columnas de a$B$$u, \alpha_u u, \beta_u u, \delta_u u$. Ahora tenga en cuenta que las columnas de a $(A - \lambda B)$ será la suma de los múltiplos de $u$ con múltiplos de $v$. Independientemente de cómo se distribuya la $v, \alpha_v v, \beta_v v, \delta_v v$$u, \alpha_u u, \beta_u u, \delta_u u$, todas las columnas de a $(A - \lambda B)$ será de la forma $xu + yv$ algunos $x$ $y$ escalares. Por lo tanto, todos sus 4 columnas serán una combinación lineal de dos vectores $u$ $v$ y por lo tanto el rango de $(A - \lambda B)$ nunca puede ser mayor que 2.