Sobre el Cantor-Schroeder-teorema de Bernstein.

Question

Si $A$ $B$ son conjuntos finitos es cierto que $|A|\leq |B|$ fib no es una inyección de $A$ $B$ $|A|\geq |B|$fib hay un surjection de$A$$B$. Esto me motiva a definir estas desigualdades arbitrarias de conjuntos.

Pero no esta definición hace que el Cantor-Schröder-Bernstein teorema de trivial?

¿Qué está mal aquí? Yo debería tener que probar el Cantor-Schröder-Bernstein teorema antes de definir estas desigualdades arbitrarias de conjuntos? O que no tienen sentido en absoluto?

Answer 1

Si se define la relación $\le$ arbitrarias de conjuntos $$ |A|\le |B| :\iff \text{ there is an injection }A \to B $$ entonces usted necesita el Cantor-Schröder-Bernstein teorema de la prueba (que es algo que tienes que probar) que $\le$ es un orden de relación. Sólo porque usted llamar a algo"$\le$, no significa que $$ |A|\le |B|, \ |B|\le |A| \implies |A|= |B| $$ es cierto. Que es el Cantor-Schröder-Bernstein.

Answer 2

En primer lugar, permítanme señalar que, si $B$ está vacía y $A$ no está vacío, entonces $|A|\geq|B|$, pero no hay surjections de $A$ a $B$.

En segundo lugar, para conjuntos infinitos, está totalmente claro por qué $|A|\leq|B|$ $|B|\leq|A|$ debe implicar $|A|=|B|$. Es bastante fácilmente cuando en realidad se puede escribir las funciones de la mano. Pero si yo acababa de decir que no es una función inyectiva de a $\Bbb Q$ a $\Bbb N$, ¿cómo sería su propuesta para que se convierta en un bijection "improvisando"?

Seguro que, en el caso de $\Bbb N$ es relativamente fácil. Así que vamos a continuar. ¿Cómo sugieren para la construcción de un bijection entre el $\Bbb Q$ y los números algebraicos? O entre el$\ell_5$$\ell_2$?

Como los comentarios, la dificultad principal es demostrar el teorema sin usar el axioma de elección. Cantor algo desestimó como trivial una vez que el axioma de elección es dado, o más bien el buen orden teorema. Y de hecho esto es casi trivial si usted sabe que cada conjunto tiene un mínimo ordinal con que puede ser bijected y las propiedades básicas de ordinal de la comparabilidad.

Pero sin el axioma de elección? Sin el axioma de elección que las cosas se vuelven mucho más difícil. Y de hecho, la declaración de "$|A|\geq|B|$ si hay surjection de $A$ a $B$ o $B$ está vacío]" no es cierto, porque no podría no ser una inyección de $B$ a $A$, a pesar de que existe un surjection de $A$ a $B$.

La trivialidad es algo cultural, consecuencia. Ha nacido—matemáticamente hablando—en un mundo donde el teorema está bien establecido; posiblemente eres una de segunda, tercera o incluso cuarta generación de personas que aprendieron matemáticas cuando el teorema ya era una consecuencia de las matemáticas. Esto te hace mucho más susceptibles a tomar por sentado. Justo como un niño el día de hoy si pueden imaginar un mundo sin televisión, o si son lo suficientemente jóvenes, un mundo sin teléfonos inteligentes, internet, Google. Para ellos es tan trivial como el Cantor–Bernstein teorema es para usted.