¿Por qué cohomología de grupo y no homología de grupo?

Question

En topología algebraica, se estudia la homología y cohomología de espacios. Sin embargo, cuando estudiamos la homología/cohomología de grupos, hablamos casi exclusivamente de cohomología. ¿A qué se debe esto? ¿Hay alguna razón estética para preferir la cohomología en este contexto? ¿Será que la cohomología de grupo es más fácil de calcular?

Entiendo que el producto taza da a la cohomología más estructura que a la homología, pero esto por sí solo no parece justificar la cantidad desigual de atención que recibe la cohomología de grupo.

Answer 1

Si se lee, por ejemplo, el libro de Brown, queda bastante claro que la cohomología es mejor que la homología. En primer lugar, como señaló Don Alejo, la cohomología viene equipada con el producto taza, pero también en lo que respecta a varios condiciones de finitud para grupos; Brown tiene un capítulo entero (capítulo 8) sobre esto. Primero se definen las condiciones de finitud en términos de resoluciones proyectivas, pero luego se identifican en términos cohomológicos; al mismo tiempo, no hay una interpretación homológica clara. Por ejemplo, un grupo $G$ tiene dimensión cohomológica $cd(G)$ (sobre ${\mathbb Z}$ ) como máximo $n$ si existe una resolución finita por proyectiva ${\mathbb Z} G$ -módulos $$ 0\to P_n \to ... \to P_0 \to {\mathbb Z}\to 0. $$ (El por qué esta es la definición "correcta" no es inmediato, lea el libro de Brown para ver una respuesta). Equivalentemente, $G$ tiene dimensión cohomológica sobre ${\mathbb Z}$ como máximo $n$ si $H^i(G, M)=0$ para todos $i>n$ y todos ${\mathbb Z} G$ -módulos $M$ . Existe la noción "dual" de dimensión homológica definida a través de las resoluciones inyectivas y la homología de grupo, pero no se comporta tan bien. Por ejemplo, Stallings demostró que $cd(G)=1$ si y sólo si $G$ es un grupo libre no trivial. Por otro lado, otros grupos localmente libres también tienen homológico dimensión $1$ como el grupo $G={\mathbb Q}$ . En dimensiones superiores, $n\ge 3$ La dimensión cohomológica de un grupo resulta ser igual a su dimensión geométrica : Un grupo $G$ se dice que tiene dimensión geométrica $\le n$ si existe un $(n-1)$ -complejo conectado $X$ y una acción celular libre (adecuadamente discontinua) $G\times X\to X$ . En cambio, lo mejor que se consigue (para $n\ge 3$ ) con la dimensión homológica $hd(G)$ es que si $hd(G)=n$ entonces la geometría de $G$ es $\le n+1$ (no la igualdad).

Answer 2

Sólo algunas reflexiones al azar sobre la homología frente a la cohomología.

• Creo que en topología algebraica, la cohomología a menudo viene junto con la homología, ya que históricamente, la cohomología se suele introducir mediante la dualización explícita del complejo singular homológico $C_\bullet (X)$ (complejo celular, etc.): $$C^\bullet (X;A) = \operatorname{Hom}_\mathbb{Z} (C_\bullet (X), A).$$ En cohomología de grupos, para calcular $$H^n (G, M) = R^n (-)^G (M) \quad\text{and}\quad H_n (G,M) = L_n (-)_G (M)$$ ( ¿encuentra invariantes $(-)^G$ para ser más natural e interesante que las coinvariantes $(-)_G$ ? ), también se suele trabajar con algún complejo específico (la resolución de la barra) y se dualiza para obtener la cohomología, por lo que tenemos la misma "dualidad" (el teorema del coeficiente universal; cuando la acción de $G$ es trivial ): $$ 0\to \operatorname{Ext}_\mathbb{Z}^1 (H_{n-1} (G,\mathbb{Z}),M) \to H^n (G,M) \to \operatorname{Hom} (H_n (G,\mathbb{Z}), M)\to 0.$$ Hasta ahora, no es muy diferente de la topología.

• En general, los teoremas y cálculos cohomológicos tienen su contrapartida homológica, y en muchos textos se discuten ambos, por ejemplo en el capítulo 6 del libro de Weibel y en "Cohomología de grupos" de Brown.

• Probablemente (?) una excepción es la interpretación de los grupos de (co)homología de dimensiones inferiores. Por ejemplo, $H^1 (G,M)$ a menudo aparece en términos explícitos, como algunos $1$ -ciclos módulo $1$ -cofronteras (homomorfismos cruzados módulo de homomorfismos cruzados principales). Algo similar debería existir para $H_1 (G,M)$ pero el resultado es no es tan agradable En mi opinión.

• En algunos contextos la homología y la cohomología aparecen juntas, por ejemplo en Cohomología de Tate $\hat{H}^n (G,M)$ cuando $G$ es finito. La cohomología de Tate reúne la homología y la cohomología, también tiene productos de copa definidos para todo $n\in \mathbb{Z}$ etc.

• Al igual que en la topología, también tenemos productos-cap entre la cohomología y la homología $H^p (G,M) \otimes H_q (G,N) \to H_{q-p} (G, M\otimes N)$ .

Así que creo que la situación con la (co)homología de los espacios topológicos no es tan diferente, y no es del todo cierto que nadie se preocupe por la homología de grupo.