Estás a punto de comer una pizza de pepperoni, que está cortada en ocho trozos. Cada pepperoni pertenecerá inequívocamente a alguna porción (ningún pepperoni está "entre" las porciones).
La advertencia es que tienes que compartir la pizza con tu peor enemigo, y quieres asegurarte más trozos de pepperoni que él. Las porciones se eligen de la siguiente manera: Primero eliges una porción cualquiera. A continuación, tu enemigo elige una porción adyacente a la que acabas de elegir. A continuación, tú eliges una rebanada adyacente a una de las dos rebanadas elegidas, y así sucesivamente.
¿Cómo te aseguras de conseguir al menos tanto pepperoni como tu oponente? En este caso, la solución es la siguiente: Numerar las rebanadas $1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2$ de tal manera que dos rodajas consecutivas cualesquiera tengan etiquetas diferentes. Suma el número de pepperonis en todas las rebanadas con la etiqueta $1$ y añadir el número de pepperonis en todas las rebanadas con la etiqueta $2$ . Si, por ejemplo, el número de pepperonis en las rebanadas numeradas $1$ es el más grande, se elige alguna porción con el número $1$ . Tu enemigo sólo puede elegir una rebanada con el número $2$ a la que se responde eligiendo la siguiente rebanada adyacente con el número $1$ y así sucesivamente.
Esto funciona, siempre que haya un número par de rodajas.
Mi pregunta es, ¿existe una estrategia ganadora, cuando el número de rodajas es impar?
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"Numerar las rebanadas $1,2,1,2,1,2,1,2,$ tal que dos rodajas consecutivas cualesquiera tengan números diferentes". ¿Por qué es capaz de asumir esto?
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@DustanLevenstein no se refiere a que tengan dicho número de trozos de salchichón, sólo a los etiquetados.
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Oh, ya veo. ${}{}$
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No estoy muy convencido de que tu estrategia te haga los más trozos de pepperoni. Sólo veo que te da más que tu enemigo. Después de elegir la etiqueta con la suma máxima, ya sea $1$ o $2$ su estrategia dice que hay que seguir eligiendo rodajas con la misma etiqueta. ¿Cómo sabes que nunca es ventajoso cambiar de etiqueta mientras eliges?
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@MikePierce Buen punto. Me refería a plantear el problema de tal manera que el objetivo es conseguir al menos tantas piezas de pepperonies como tu enemigo, y no necesariamente conseguir el máximo número. Haré una edición.
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@HowDoIMath, vale. Se me acaba de ocurrir un ejemplo concreto en el que tu estrategia no consigue el máximo, así que lo pongo como referencia: Piensa en el juego en el que hay cuatro trozos de pizza y en orden circular cada trozo tiene $\{2,4,2,1\}$ pepperonis. Asumiendo que quieres recoger tu rebanada más grande primero, tu estrategia dice que elijas $4$ , escoge $2$ , tú eliges $1$ , escoge $2$ , mientras que es evidente que te va mejor si eliges $2$ su segunda vez. La elección de la $1$ La primera rodaja no lo hace mejor.
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Para concretar el juego y el problema, supongamos que hay un número impar de salchichas, por lo que debe haber un ganador del juego. (Si no es así, su solución al caso de "rebanadas pares" sólo garantiza al menos un empate). También suponga que ninguna rebanada tiene un número negativo de pepperoni's -- si puede haber negativos, entonces el primer jugador ya no tiene siempre una victoria (considere el pastel con $\{1,1,-101,1,1\}$ de pepperoni en cinco rebanadas). Y, como es habitual en los juegos combinatorios de 2 jugadores, digamos que sólo nos importa quién gana, no por cuánto.
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Por eso los matemáticos no son invitados a las fiestas, para que lo sepas.
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¿Todas las rebanadas son del mismo tamaño? Si no es así, ¿se corta la pizza al azar o la corta uno de los jugadores? Si el enemigo la corta, la respuesta de Gregory se acerca mucho a una respuesta definitiva (lea el preprint arxiv enlazado).
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@ToddWilcox - si la pizza se corta al azar y el objetivo es tener una estrategia que funcione sin importar el resultado del corte aleatorio, entonces también podrías asumir que tu enemigo está cortando la pizza, ya que hay algunos probabilidad positiva de que la pizza se corte al azar de la forma en que lo haría un enemigo perfecto.
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@GregoryJ.Puleo ¿Existe la probabilidad negativa? Pensaba que el valor más bajo que podía tener una probabilidad era cero.
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@DanHenderson - Efectivamente, y el 0 no es positivo. por "probabilidad positiva" aquí sólo quiero decir "probabilidad no nula".
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Bien, sólo para asegurarme. Normalmente veo "no cero" en contextos de probabilidad.
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@MikePierce: Creo que {2,3,2,0} es un ejemplo algo más interesante - la estrategia óptima es comenzar con la rebanada con 3 pepperonis, aunque la estrategia de HowDoIMath sugiere elegir el 2 y el otro 2 (y no tomar la 3 en absoluto).
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El pepperoni fue una terrible elección de cobertura para este problema. Quién ha visto alguna vez una pizza que no tenga un trozo de pepperoni a caballo entre dos porciones?
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Se llama margherita.
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Si la competencia con su lo peor enemigo equivale simplemente a un acaparamiento de salchichón cuando compartir una pizza, tienes una vida bastante buena. ^__^
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@FlorianF Bueno, se refería a un pepperoni pizza. Pero ¿quién ha visto alguna vez una pizza margarita que no tenga un trozo de tomate ¿a caballo entre dos rebanadas?