Un cálculo de límite de problema

Question

El problema es:

$\lim_{x\to0}$ $\frac{sin(\frac{1}{x})}{sin(\frac{1}{sin(x)})}$

mi intuición me dice que la respuesta igual a $1$ por el límite de la igualdad : $\lim_{x\to0}$ $\frac{sinx}{x}=1$. Pero podemos ver fácilmente que el límite del numerador y el denominador tanto no existen, y que ambos están entre -1 y 1. Me parece no puede encontrar un riguroso argumento para este problema. Si alguien puede ayudar o dar alguna sugerencia sería muy apreciada!

Answer 1

El límite no existe porque la función no está definida en cualquier barrio de $0$. En efecto: $$x=\arcsin\left(\dfrac{1}{k\pi}\right), k\in\mathbb{Z}\Rightarrow\sin\left(\dfrac{1}{\sin(x)}\right)=0$$ y la secuencia de $\arcsin\left(\dfrac{1}{k\pi}\right)$ converge a$0$$k\rightarrow\infty$.

Answer 2

Vamos a:

$$f(x) = \frac{\sin\left(\frac1x \right)}{\sin\left(\frac1{\sin x} \right)}$$

El límite no existe porque tenemos:

$$f\left(\frac2{(4n+1)\pi}\right) \not \to 0 \tag1$$

Y

$$\lim_{n\to \infty} f\left(\frac1{2n\pi}\right) = 0$$

Para demostrar $(1)$, tenga en cuenta que la única manera en que podría converger a $0$ es por tener el denominador ir a $\infty$, lo cual es imposible debido a $|\sin| \le1$.