Demostrar que $f(x)=O(x)$ como $x\to 0$

Question

Dejemos que $f$ sea una función definida en $R$ . para cualquier serie absolutamente convergente $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}f(a_{n})$ converge, demuestre que $$ f(x)=O(x)\qquad (x\to 0) $$ .

He intentado demostrar el lado de la contradicción, suponiendo que existe una serie que hace $$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{f(a_{n})}{a_{n}}\right|=+\infty $$ Entonces estoy atascado aquí, ¿alguien puede ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Si $f(x)$ no es $O(x)$ como $x\to0$ podemos encontrar una secuencia $x_k\ne0$ tendiendo monotónicamente a $0$ de manera que todos los $f(x_k)$ tienen el mismo signo y $$ \lim_{k\to\infty}\left|\frac{f(x_k)}{x_k}\right|=\infty\tag{1} $$ Para $n\gt0$ , encontrar $k_n$ de modo que para $k\ge k_n$ tenemos $|x_k|\le1/n^2$ y $$ \left|\frac{f(x_k)}{x_k}\right|\ge n\tag{2} $$ Dejemos que $j_n=\left\lfloor\dfrac{1/n^2}{|x_{k_n}|}\right\rfloor$ entonces $$ \frac1{2n^2}\lt\overbrace{|x_{k_n}+x_{k_n}+\dots+x_{k_n}|}^{j_n\text{ terms}}\le\frac1{n^2}\tag{3} $$ Sumando la desigualdad de la derecha de $(3)$ da $$ \left|\sum_{n=1}^\infty\ \overbrace{x_{k_n}+x_{k_n}+\dots+x_{k_n}}^{j_n\text{ terms}}\right| \le\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\tag{4} $$ que converge. Sin embargo, $(2)$ y la desigualdad de la izquierda de $(3)$ diga $$ \left|\sum_{n=1}^\infty\ \overbrace{f(x_{k_n})+f(x_{k_n})+\dots+f(x_{k_n})}^{j_n\text{ terms}}\right| \ge\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}\tag{5} $$ que diverge.

Por lo tanto, $f(x)=O(x)$ .

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Una nota sobre la desigualdad $(3)$

La primera de las desigualdades equivalentes en $(6)$ se deduce de la definición de la función suelo: $$ 0\le\frac{1/n^2}{|x_{k_n}|}-j_n\lt1\tag{6a} $$ $$ j_n|x_{k_n}|\color{#C00000}{\le}1/n^2\color{#00A000}{\lt}(j_n+1)|x_{k_n}|\tag{6b} $$ $$ \frac{j_n}{j_n+1}1/n^2\color{#00A000}{\lt} j_n|x_{k_n}|\color{#C00000}{\le}1/n^2\tag{6c} $$ y como $j_n\ge1$ , $\frac{j_n}{j_n+1}\ge\frac12$ obtenemos $$ \frac1{2n^2}\lt j_n|x_{k_n}|\le\frac1{n^2}\tag{7} $$ que es la desigualdad $(3)$ .