Qué es la integración de contornos

Question

Hace poco hice un curso de integración de contornos. Entendí cómo realizar las integrales, pero nunca entendí cuál era el significado físico. Entiendo el significado introductorio de la integral $\int_a^b f(x)\space dx$ como el área bajo la curva f(x).

Sin embargo, una vez que me metí en el análisis complejo, tratamos con integrales desagradables (como la de Cauchy) $$f(a)=\frac 1 {2\pi i} \oint_C \frac {f(z)} {z-a} dz$$ No entiendo muy bien qué significa esto. El resultado de la integral depende de C, como cualquier integral depende de los límites. Pero qué es lo que dice esto. No es el área bajo f(z), pero ¿qué es?

Answer 1

Es una integral de línea, que reconocerás del cálculo multivariable. Normalmente, una integral de línea se escribe

$$\int_C P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy$$

para funciones de valor real $P$ y $Q$ de dos variables reales. Se puede convertir una integral de contorno compleja en algo parecido utilizando álgebra ingenua, escribiendo $f = u + iv$ y $z = x + iy$ (así $dz = dx + i \, dy$ ) como partes reales e imaginarias:

$$\int_C f(z) \, dz = \int_C \bigl(u(x + iy) + i v(x + iy)\bigr) (dx + i\, dy) \\ = \int_C \bigl(u(x + iy) \, dx - v(x + iy) \, dy\bigr) + i \int_C \bigl(u(x + iy) \, dy + v(x + iy) \, dx\bigr)$$

donde todo es ahora una función de $x$ y $y$ . Sin embargo, no toda integral de línea es una integral de contorno compleja.

Answer 2

Pienso en la integración de contornos como desplazamiento complejo .

Para motivar esto, recordemos el teorema fundamental real del cálculo: $$\int_a^b f(x)\;dx=F(b)-F(a)$$ El teorema fundamental nos da una forma de reinterpretar un valor que, intuitivamente, expresa un área con signo como un valor que representa desplazamiento acumulado para la antiderivada. La fórmula siguiente probablemente exprese mejor este punto de vista: $$\int_a^b f'(x)\;dx=f(b)-f(a)$$ Y esta interpretación se acentúa más si interpretamos el lado izquierdo como una integral de contorno contenida enteramente en la recta real.

Esto se extiende al caso complejo. Si $\gamma$ es un camino (suficientemente bonito) y $f$ resulta que tiene una antiderivada $F$ en algún conjunto abierto que contenga la imagen de $\gamma$ entonces $$\int_\gamma f(z)\;dz=F(\gamma(1))-F(\gamma(0))$$ En particular, $$\int_\gamma 1\;dz=\gamma(1)-\gamma(0)$$ que representa el cambio de posición total relativo (que es bastante evidente para una trayectoria poligonal).

Esta interpretación adquiere un significado interesante cuando se considera una trayectoria circular en un subconjunto simplemente conectado $E$ de $\mathbb{C}$ y una función $f$ que resulta ser analítica. El Teorema de Cauchy dice que $$\oint_\gamma f(z)\;dz=0$$ que intuitivamente dice que al viajar por el espacio 4 en la gráfica de $F$ de forma circular (hacia abajo en el dominio), se acaba volviendo al punto de partida (en el codominio). O bien, las funciones analíticas en dominios simplemente conectados llevan "círculos" a "círculos" (es decir ningún desplazamiento total en el dominio significa ningún desplazamiento total en el codominio ).

Contrastemos esto con una de las integrales de contorno más importantes: $$\oint_\gamma\frac{dz}{z}=2\pi i$$ donde $$\gamma:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb{C}\quad\text{ is defined by }\quad\gamma(t)=e^{i(\theta-\pi)}$$ (la rotación incorporada arriba es para que coincida con el corte de la rama canónica del Tronco). Consideremos ahora $$\gamma_\epsilon=\gamma|_{[\epsilon, 2\pi-\epsilon]}$$ Recordamos que $1/z$ tiene una antiderivada $\log$ en el plató $\mathbb{C}-(-\infty, 0]$ . Y podemos calcular directamente $$\oint_{\gamma_{\epsilon}}\frac{dz}{z}=2\pi i-f(\varepsilon)$$ para alguna función compleja $f$ que va a cero como $\epsilon$ tiende a cero. Lo que ocurre aquí es que $\log$ está envolviendo $\gamma_\epsilon$ hacia arriba en un helicoide como este (la curva azul):

Y en conjunto $$\oint_{\gamma}\frac{dz}{z}=2\pi i=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\oint_{\gamma_\epsilon}\frac{dz}{z}$$ significa intuitivamente que $\log$ "rompe" la trayectoria circular en una trayectoria que no termina donde empezó. Y el desplazamiento total desde el punto de partida es $2\pi i$ .

Answer 3

La fórmula integral de Cauchy es un resultado profundo. Nos dice que el comportamiento de una función analítica f(z) dentro de la región delimitada por un contorno C depende sólo de cómo se comporta la función en el propio contorno. Así, si se sabe que la función es analítica en C y en la región encerrada por C, no es necesario pensar en ninguno de los puntos interiores. El corolario de esto (la fórmula de diferenciación de Cauchy) es más interesante: $$f^{(n)}(a)=\frac {n!} {2\pi i} \oint_C \frac {f(z)} {(z-a)^{n+1}} dz$$

donde, $f^{(n)}(a)$ es la derivada de orden n de f(z) en $z = a$ . Demuestra que para las funciones analíticas, la diferenciación y la integración son operaciones equivalentes en el plano complejo, en el sentido de que puedes realizar una diferenciación para conocer el valor de una integral o, a la inversa, puedes realizar una intergación para encontrar la diferencial. También te dice que una función analítica es infinitamente diferenciable. Por lo tanto, esta fórmula te dice muchas cosas que tienen varias aplicaciones interesantes.