¿Por qué $\{(x,y,z): z \ge 0\}-\{(x,y,z): y=0,0\leq z \leq 1\}$ tienen grupo fundamental trivial?

Question

Acabo de empezar a aprender sobre el grupo fundamental. Un ejercicio me pide que demuestre que $$X=\{(x,y,z): z \ge 0\}-\{(x,y,z): y=0,0\leq z \leq 1\}$$ tiene grupo fundamental trivial.

Lo que sé es:

1) la definición del grupo fundamental.

2) X tiene grupo fundamental trivial si cualquier bucle en X puede reducirse a un bucle constante en el punto base.

3) Los espacios homeomórficos (conectados por caminos) tienen grupos fundamentales isomórficos.

4) Cualquier subconjunto convexo de $\mathbb{E}^n$ y $S^m,m\ge 2$ tiene grupo fundamental trivial.

Intenté construir un homeomorfismo de X a un subconjunto convexo de $\mathbb{E}^3$ como una zona como esta: $$\{(x,y,z): -1\leq y \leq 1,z>0\}$$ Pero fallé.

¿Pueden ayudarme, por favor? Gracias.

Answer 1

Sugerencia - descanso $H$ (su conjunto) en dos piezas utilizando el medio plano $P = \{ (x,y,z) : y = 0, z > 1 \}$ . Demuestre que las dos piezas $K^\pm$ de $H - P$ tienen cada uno un grupo fundamental trivial, al igual que $P$ . Ahora, monta.

Dos sugerencias más: 1. Si quieres hablar de cosas, ayuda darles nombres. 2. Busca el teorema de Seifert-van Kampen.

Answer 2

Sabes que los subconjuntos convexos de $\mathbb{R}^n$ tienen grupo fundamental trivial. Comprueba la prueba para ver que también demuestra esto: si $X\subset \mathbb{R}^n$ y $a\in X$ son tales que para cada $b\in X$ el segmento que conecta $a$ y $b$ está en $X$ (es decir, si $X$ es "en forma de estrella") entonces $\pi_1(X,a)$ es trivial. (Ya que $X$ es entonces contraíble, a lo largo de los segmentos que van a $a$ .)

En su caso $a=(0,0,2)$ .

Answer 3

Si $T$ es su espacio, entonces $T$ tiene la propiedad de que si $(x,y,z)\in T$ y $t >0$ entonces $(x,y,z+t)\in T$ .

Esto permite encontrar una homotopía entre cualquier bucle en $T$ a un bucle en $T_0=\{(x,y,z): z>=1\}$ Pero $T_0$ es convexo, por lo que es simplemente conectado.