$$\int_0^1\frac{3x^3-2x}{(1+x)\sqrt{1-x}}K\left(\frac{2x}{1+x}\right)\,dx\stackrel ?=\frac\pi{5\sqrt2}$$
La integral anterior viene a partir de la evaluación de la integral $A=\int_0^{\pi/2}\frac{f(\theta)}\pi d\theta$, donde
$$f(\theta)=\int_0^\pi\frac{(3\sin^2\theta-2)\sin\theta\,d\phi}{\sqrt{2+2\sin\theta\cos\phi}}=\frac{\sqrt2(3\sin^2\theta-2)}{\csc\theta\sqrt{1+\sin\theta}}\int_0^{\pi/2}\left(1-\frac{2\sin\theta}{1+\sin\theta}\sin^2\gamma\right)^{-1/2}d\gamma,$$
donde $\gamma=\phi/2$, y el lado derecho de la integral es de $K\big(\!\frac{2\sin\theta}{1+\sin\theta}\!\big)$ por definición. Después de sustituciones $x=\sin\theta$ y $y=\frac{2x}{1+x}$ obtenemos
$$\begin{align}A&=\frac{\sqrt2}\pi\int_0^1\frac{3x^3-2x}{(1+x)\sqrt{1-x}}K\left(\frac{2x}{1+x}\right)\,dx\\ &=\frac1\pi\int_0^1\frac{y^3+8y^2-8y}{(2-y)^3\sqrt{y^2-3y+2}}K(y)\,dy\stackrel ?=\frac15,\end{align}$$
donde la integral se ha evaluado numéricamente para sugerir el resultado analítico sobre el derecho a varios miles de dígitos. Es allí cualquier manera de demostrar esta igualdad, y hay generalizaciones de esta conjetura para incluir otros parámetros?
P. S. No es que sea demasiado relevante para la pregunta, pero para el lector interesado, la integral original viene desde el siguiente problema de física:
[Morin, Introducción a la Mecánica Clásica, Ex. 10.12] La tierra se abomba ligeramente en el ecuador, debido a la fuerza centrífuga de la tierra marco giratorio. El objetivo de este ejercicio es encontrar la forma de la tierra, primero de forma incorrecta, y luego correctamente.
(a) El común incorrecta método consiste en suponer que la fuerza de gravitación de la ligeramente nonspherical de la tierra apunta hacia el centro, y, a continuación, calcular la superficie equipotencial (incorporación de la gravedad y la fuerza centrífuga). Muestran que este método conduce a una superficie cuya altura (en relación a una tierra esférica del mismo volumen) está dada por $h(\theta)=R\big(\!\frac{R\omega^2}{6 g}\!\grande)(3\sin^2\theta-2)$, donde $\theta$ es el ángulo polar (el ángulo hacia abajo desde el polo norte), y $R$ es el radio de la tierra.
(b) El método anterior es incorrecta, debido a la ligera distorsión de la tierra hace que la fuerza de gravedad a no apuntar hacia el centro de la tierra (excepto en el ecuador y los polos). Esta inclinación en la dirección de la fuerza, a continuación, cambia la pendiente de la superficie equipotencial, y resulta que (aunque esto no significa obvio) que este efecto es del mismo orden que la pendiente de la superficie que se encuentra en la parte (a). Su tarea: Suponiendo que la densidad de la tierra es constante, y que la altura correcta toma la forma de algún factor constante de $f$ veces el resultado encontrado en la parte (a), muestran que $f=5/2$. Hacer esto por exigente que el potencial en un polo es el potencial en el ecuador.
