Cómo encontrar el valor de la integral $$ \int_o^{\infty} \! \frac{x^8}{1+x^4+x^6+x^{10}} \, \mathrm{d}x $$ dado a ser $\frac{1}{12}(3\sqrt{2}-1) \pi$ por WolframAlpha y, en general, ¿existe un procedimiento para encontrar el valor de la integral definida de una función racional de la forma $\dfrac{x^l}{p(x)}$ donde $deg(p) > l > 1$ de $0$ a $\infty$ ?
Respuestas
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drew.macleod
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Puedes escribirlo aquí para encontrar la respuesta al problema,
En general, este tipo de problemas integrales suelen abordarse con "el cálculo de residuos". Marsden - Basic Complex Analysis - Chapter 4 - Page 296, da una bonita tabla para este tipo de problemas. Por ejemplo, si $\deg(Q(x))\ge 2+\deg(P(x))$ entonces,
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{P(x)}{Q(x)} dx = 2\pi i \cdot \sum\left(\text{residues in $ H^+ $}\right)+\pi i \cdot\sum\left(\text{residues on $ \ de la que se ha hablado. $}\right).$$ No conozco ningún método general que no utilice la teoría de los residuos.
user137959
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Para la integral dada, el denominador puede ser factorizado para obtener
$1+x^4+x^6+x^{10}=1+x^4+x^6(1+x^4)=(1+x^4)(1+x^6)$ .
Entonces, usando fracciones parciales puedes dividir el denominador
$\dfrac{x^8}{(1+x^4)(1+x^6)}=\dfrac{x^2+1}{2(1+x^4)}+\dfrac{x^4-x^2-1}{2(1+x^6)}$
Lo que te da dos integrales resolubles (aunque desafiantes). En general, este sería mi enfoque para resolver cualquier integral de la forma dada, pero si fallara probablemente intentaría usar una serie para aproximar las funciones e integrar término por término.
Puedes aplicar el teorema del residuo; en este caso, el integrando es par y, por tanto, puede extenderse a toda la recta real. Se puede demostrar, entonces, que la integral sobre la recta real es igual a
$$\oint_C dz \frac{z^8}{z^{10}+z^6+z^4+1} $$ ,
donde $C$ es un semicírculo de radio $R \to \infty$ en el semiplano superior, que, a su vez, es igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de los polos dentro de $C$ . Los polos en el interior $C$ resulta ser
$$z_1=e^{i \pi/6}$$ $$z_2=e^{i \pi/4}$$ $$z_3=e^{i \pi/2}$$ $$z_4=e^{i 3 \pi/4}$$ $$z_5=e^{i 5 \pi/6}$$
Por lo tanto, la integral original es
$$i \pi \sum_{k=1}^5 \frac{z_k^5}{10 z_k^6+6 z_k^2+4 } $$
