Deje $(X,\leq)$ ser un preorder, es decir, $\leq$ es reflexiva y transitiva binario relación en $X$. Quiero mostrar que la $\leq$ induce una estructura topológica en $X$. Por lo tanto debo especificar cuando un subconjunto $A$ $X$ debe ser considerado abierto. Personal de mi conjetura es que el $A$ es abrir el fib está contenida en su interior, donde el interior de la $A^°$ $A$ se define como sigue:
$$A^°:=\{s\in X: \forall f\in X (s\leq f\rightarrow f\in A\}$$
¿Crees que esto tiene sentido? Si no, lo que podría ser la definición de un abierto?
Un "doble" de la definición para el interior de $A$
$$A^°:=\{s\in X: \forall p\in X (p\leq s\rightarrow p\in A\}$$
Hacer las dos definiciones de trabajo con el fin de obtener un espacio topológico? Definen la misma topología en $X$ (si se definir?)
En el mismo espíritu, podríamos definir una topología por medio de subconjuntos cerrados. Yo digo que un subconjunto $C$ $X$ es cerrado cuando el cierre de $C$ está contenido en $C$, y defino el cierre de $\overline{C}$ $C$ como sigue: $$\overline{C}:=\{s\in X:\exists f\in X(s\leq f\wedge f\in C\}$$ o, doblemente, como $$\overline{C}:=\{s\in X: \exists p\in X(p\leq s\wedge p\in C\}$$ La pregunta es la misma: hacer esto definir una topología en $X$? Si es así, ¿qué tipo de topología es esto? Tiene algunos evidente de la descripción, es el obviuous uno o natural en algún sentido?
