Actualización: Steve señala en los comentarios que muchos productos directos de grupos residualmente cíclicos serán contraejemplos. De hecho, debería haberme dado cuenta de esto: ¡todo grupo abeliano finitamente generado es residualmente cíclico! Debería haber preguntado por totalmente grupos residualmente cíclicos, es decir, grupos $G$ tal que para cualquier subconjunto finito $X\subseteq G\smallsetminus 1$ existe un homomorfismo de $G$ a un grupo cíclico que no mate ningún elemento de $X$ . Sospecho que la pregunta es ahora bastante fácil, aunque todavía no he tenido la oportunidad de pensar en ello.
Esta pregunta está motivada por esta pregunta reciente que pedía una caracterización de los grupos con a lo sumo un subgrupo de cada índice finito. La respuesta de Arturo Magidin demostró que todo grupo finito de este tipo es cíclico, pero el autor de la pregunta, Louis Burkill, añadió en los comentarios que está realmente interesado en el caso infinito.
En mi respuesta a esta pregunta, sostengo que un generado finitamente tiene a lo sumo un subgrupo de cada índice finito si y sólo si su cociente canónico residualmente finito, $R(G)$ es cíclico. La hipótesis de "generación infinita" es necesaria, de lo contrario el grupo aditivo de los racionales proporciona un contraejemplo.
En el caso general, se puede reducir del caso de $G$ a $R(G)$ como antes (esto elimina los ejemplos patológicos como los grupos simples infinitos), y el mismo argumento muestra que si $R(G)$ tiene como máximo un subgrupo de cada índice finito entonces $R(G)$ es totalmente residualmente cíclico, en particular abeliano. Pero lo contrario no me queda claro. De ahí la pregunta del título, que reitero aquí, con algunas hipótesis adicionales que deberían indicar dónde está la dificultad.
Si $G$ es un infinito generado, totalmente grupo residualmente cíclico (en particular, abeliano), debe $G$ tienen como máximo un subgrupo de cada índice finito?
