¿Pregunta ingenua sobre el concepto de efectivo lagrangiana y las ecuaciones de movimiento?

Question

Consideremos un circuito LC que contiene un momento dipolar eléctrico, el quantum del sistema (campo eléctrico $E$, junto con un momento dipolar) puede ser descrito por la ruta integral $$Z=\int DEDxe^{i\int dtL},$$ donde el total de Lagrange $$L=\frac{1}{2g}(\dot{E}^2-\omega _{LC}^2E^2)+\frac{m}{2}\dot{x}^2-\frac{m\omega _{0}^2}{2}x^2+exE.$$ Después de integrar el dipolo $x$, obtenemos un efectivo de Lagrange $L_{eff}$ para el campo eléctrico $$L_{eff}=\frac{1}{2g}(\dot{E}^2-\omega _{LC}^2E^2)+\frac{e^2}{2m}E(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1}E.$$

Por otro lado, desde el clásico punto de vista, mediante la resolución total de Lagrange $L$, podemos obtener un 4to orden de la ecuación de movimiento para el campo eléctrico $$[\partial_t^4+(\omega _{0}^2+\omega _{LC}^2)\partial_t^2+\omega _{0}^2\omega _{LC}^2-\frac{e^2g}{m}]E=0.\tag{a}$$

Mis preguntas son:

1. Puede que el segundo término en $L_{eff}$ ser escrita como una función de la $\dot{E}$$E$?

2. Podemos obtener un 'Euler-Lagrange' ecuación de la efectiva Lagrange$L_{eff}$? Si la respuesta es sí, esta ecuación el mismo que el de arriba 4 de la orden de la ecuación de movimiento de la $(a)$ del sistema clásico?

3. Podemos construir otro efectiva de Lagrange de la clásica dinámica que da lugar a la Eq.$(a)$? Es el concepto de efectivo de Lagrange SÓLO significativa para el sistema cuántico?

Answer 1

OP sistema de dos osciladores armónicos acoplados

$$\tag{1} L~=~\frac{1}{2}(m\dot{x}^2 - k x^2) + \frac{1}{2}(M\dot{y}^2 - K y^2) - \kappa xy. $$

Parece un precio muy alto a pagar para crear un no-local de la formulación de su integración en una variable por la fuerza bruta como OP. Aquí estamos en lugar de encontrar los modos normales del sistema de dos osciladores armónicos acoplados.

Las ecuaciones de movimiento son

$$\tag{2} \begin{pmatrix}\ddot{x} \\ \ddot{y}\end{pmatrix} ~=~- \Lambda \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}, \qquad \Lambda ~:=~ \begin{pmatrix}\frac{k}{m}&\frac{\kappa}{m} \\ \frac{\kappa}{M} &\frac{K}{M} \end{pmatrix}. $$

Curiosamente, el real $2\times 2$ matriz $\Lambda$ es no simétrica si $m\neq M$. Los dos autovalores de a $\Lambda$ son reales

$$\tag{3} \lambda_{\pm} ~=~ \frac{{\rm tr}(M)}{2} \pm \sqrt{\Delta}, $$

$$\tag{4} \Delta~:=~\left(\frac{{\rm tr}(M)}{2}\right)^2-\det(M)~\geq~0. $$

Si la matriz $T$ diagonalizes la matriz

$$\etiqueta{5}\Lambda~=~TDT^{-1}, \qquad D ~:=~ \begin{pmatrix}\lambda_+&0\\ 0 &\lambda_- \end{pmatrix}, $$

a continuación, definir nuevas variables

$$ \etiqueta{6} \begin{pmatrix}x_+ \\ x_-\end{pmatrix} ~=~T^{-1} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}. $$

Entonces las ecuaciones de movimiento son

$$ \tag{7} \ddot{x}_{\pm}~=~-\lambda_{\pm} x_{\pm}, $$

con Lagrange

$$ \tag{8} \tilde{L}~=~\sum_{\pm} \frac{m_{\pm}}{2}\left(\dot{x}^2_{\pm} - \lambda_{\pm} x^2_{\pm} \right), $$

donde las masas $m_{\pm}$ depende de los parámetros de la teoría.

Answer 2

1: no lo creo

2: tenga en cuenta que $L_{eff}$, puede ser escrito, gracias a una integración por partes $(\partial_t E)^2 = \partial_t(E\partial_t E) - E \partial_t^2E$ y dejar de lado el término superficial debido a la el derivado total:

$$ L_{eff}=E\quad (\frac{1}{2g}(-\partial_t^2 -\omega _{LC}^2)+\frac{e^2}{2m}(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1})\quad E \tag{1}$$

La ecuación de movimiento es entonces:

$$(\frac{1}{2g}(-\partial_t^2 -\omega _{LC}^2)+\frac{e^2}{2m}(\partial_t^2+\omega _{0}^2)^{-1})\quad E = 0 \tag{2}$$

Multiplicando $(2)$ $(\partial_t^2+\omega _{0}^2)$ da la ecuación $(a)$

3: diferentes Lagrangianos pueden dar la misma ecuación de movimiento.