Me voy a centrar en el complejo de variedades proyectivas.
Codimension uno
La situación en codimension uno es considerablemente más simple que en los de alto codimensions.
Codimension uno racional de clases de equivalencia son parametrizadas por $Pic(X)= H^1(X,\mathcal O_X^{\ast})$, mientras que algebraicas de clases de equivalencia son parametrizadas por el Nerón-Severi grupo de $X$, el cual puede ser definido como la imagen de la clase de Chern mapa de $Pic(X)$ $H^2(X,\mathbb Z)$. De ello se desprende que en codimension uno
- el grupo de los racionales de clases de equivalencia es una contables de la unión de abelian variedades;
- los grupos de algebraica de clases de equivalencia y homológica de clases de equivalencia coinciden y son iguales a $NS(X)$ en un subgrupo de $H^2(X,\mathbb Z)$;
- el grupo de numérico de clases de equivalencia es el cociente de $NS(X)$ por su torsión subgrupo.
Mayor codimension
La mayor codimension caso, como señala Tony Pantev, es considerablemente más complicado y algebraicas y homológica de equivalencia no coinciden.
Respecto racional de equivalencia, Mumford demostrado que el Chow grupo de cero ciclos de las superficies de admisión distinto de cero holomorphic $2$-formas son infinitas dimensiones, contradiciendo una conjetura por Severi. El papel es Mumford, D. Racional de equivalencia de 0 $$-ciclos en las superficies. J. Math. Kyoto Univ. 9 de 1968.
Advertencia
Las definiciones de los racionales y algebraicas de equivalencia en wikipedia no son correctos.
Voy a commment de abajo de la equivalencia algebraica.
Allí se puede encontrar la siguiente definición.
$Z ∼_{alg} Z'$ si existe una curva de $C$ y un
ciclo $V$ en $X × C$ plana por C,
que $$V \cap \left( X \times\lbrace c\rbrace \right) = Z \quad \text{ y }
\quad V \cap \left( X \times\lbrace c\rbrace \right) = Z'
> $$ para dos puntos $c$ y $d$ en el
de la curva.
Esto no es correcto. La definición correcta es
$Z ∼_{alg} Z'$ si existe una curva de $C$ y un
ciclo $V$ en $X × C$ plana por C,
que $$V \cap \left( X \times\lbrace c\rbrace \right) -
> V \cap \left( X \times\lbrace d\rbrace \right) = Z - Z'
> $$ para dos puntos $c$ y $d$ en el
de la curva.
Para la construcción de un ejemplo de dos algebraicamente equivalentes divisores que no cumplen con la definición de wikipedia dejar que $X$ ser una variedad proyectiva con $H^1(X,\mathcal O_X) \neq 0$ y
no tome un trivial línea-paquete de $\mathcal L$ más de $X$, con cero Chern de la clase.
Si $ $ Y = \mathbb P ( \mathcal O_X \oplus \mathcal L)$ $$ Y contiene dos copias $X_0$ y $X_{\infty}$ de $X$ ( uno para cada factor de $\mathcal O_X \oplus \mathcal L$ ), que son algebraicamente equivalentes, pero no puede ser deformado debido a su normal paquetes son de $\mathcal L$ y $\mathcal L^{\ast}$. Esto no se contradice con la segunda definición, porque para suficientemente amplia como divisores de $H$ es claro $X_0 + H$ puede ser deformado en $X_{\infty} + H$.
