Diferencia entre anillo graduado y álgebra graduada

Question

Wikipedia dice que un grado $A$ -El álgebra es sólo un grado $A$ -que también es un anillo graduado.

Pregunta: cuando se dice entonces "gradación finita $A$ -álgebra", ¿se quiere decir que cada elemento $s$ puede escribirse como $s=\sum^N_{i=0} a_i g_i$ , donde $\{g_i\}_{i=1}^N$ es un conjunto generador, o que se puede escribir como $s=\sum^N_{i=0} a_i \prod_{j\in I} g_j$ ?

Ravi Vakil propone en un ejercicio:

4.5.D. (a) Demuestre que un anillo graduado $S_\bullet$ en $A$ es un anillo graduado finitamente generado (sobre $A$ ) si $S_\bullet$ es un grado finito generado $A$ -es decir, generada sobre $A=S_0$ por un número finito de elementos homogéneos de grado positivo.

Lo que no entiendo es cómo poner la palabra "álgebra" en lugar de "anillo" hace la diferencia de que la primera se supone generada sobre elementos homogéneos y la segunda por "cualquier elemento". ¿Acaso, en general, un $A$ -significa simplemente un anillo sobre $A$ es decir, un anillo en el que $A$ (posiblemente no de forma inyectiva), de modo que un $A$ -¿se define la acción?

Answer 1

Serge Lang en su libro "Álgebra", define un $A$ -para ser un anillo cualquiera $B$ junto con un homomorfismo de anillo $f:A\rightarrow B$ . Esto corrobora su interpretación.

Un sistema de generación finita $A$ -se entiende prácticamente como un anillo cociente de un anillo de polinomios en un número finito de indeterminados. En otras palabras, tiene la forma $S=B[X_1,\dots,X_n]/I$ , donde $B$ es un anillo, $I$ es un ideal de $B[X_1,\dots,X_n]$ y existe un homomorfismo de anillo $A \rightarrow B/(I \cap B)$ . Hasta ahora, esto es independiente de la calificación.

Ahora un $A$ -Álgebra $S$ con un $\mathbb{Z}_+$ -calificación (para simplificar), es un anillo $S$ junto con un homomorfismo de anillo $f:A \rightarrow S$ , de tal manera que $S$ se puede escribir $S=\oplus_{i \ge 0} S_i$ y la operación de multiplicación de $S$ , $S \times S \rightarrow S$ , satisface $S_i \times S_j \rightarrow S_{i+j}$ .

No soy lo suficientemente experto, pero me parece que las frases "anillo graduado $S$ en $A$ " y "graduado $A$ -Álgebra $S$ "indican lo mismo. Esto es cierto si interpretamos la frase " $S$ es un anillo sobre $A$ " para significar simplemente que tenemos un homomorfismo de anillo $A \rightarrow S$ pero luego usando la definición de Lang $S$ es un $A$ -Álgebra.

Por último, creo que el objetivo del ejercicio que citas es mostrar que para una gradación finita $A$ -podemos tomar los generadores como elementos homogéneos.