¿Qué significa la notación $f\colon A\to B$ ¿quieres decir?

Question

He estado haciendo un curso online de matemáticas discretas, y la notación $f\colon A\to B$ ha aparecido unas cuantas veces, y no se ha explicado lo que significa. He intentado buscarlo en Google, pero lamentablemente no se puede buscar con caracteres como $\to$ . Si alguien pudiera aclarar lo que significa, se lo agradecería mucho.

Edición: Hasta ahora ha habido algunas respuestas sobre el mapeo - lo siento, pero soy un completo lego en esto. ¿Hay alguien que pueda explicarlo un poco más?

Answer 1

$f:A\to B$ significa $f$ es una función de $A$ a $B$ .

Ejemplo:

$\begin{align*}f:\Bbb R& \to \Bbb R_+\\ x & \mapsto x^2\end{align*}$

Seguro que ya has visto funciones definidas como $f(x)=x^2$ pero cuando empiezas a hacer cosas más complicadas con las funciones, necesitas la "fórmula" más otras dos cosas: el dominio $A$ y el codominio $B$ .

La razón es que la función que he definido anteriormente no es biyectiva (si le doy $f(x)$ no se puede encontrar $x$ porque podría ser $\sqrt{f(x)}$ o $-\sqrt{f(x)}$ ) pero puedo definir otra función que sea biyectiva:

$\begin{align}g:\Bbb R_+& \to\Bbb R_+\\ x & \mapsto x^2\end{align}$

Porque ahora sabes que el $x$ Tomé para formar $f(x)$ está en $\Bbb R_+$ por lo que no puede ser $-\sqrt{f(x)}$ por lo que tiene que ser $\sqrt{f(x)}$ .

Por lo tanto, se puede definir

$h:\begin{array}{ll}\Bbb R_+& \to& \Bbb R_+\\ x & \mapsto & \sqrt{x}\end{array}$

Y $h$ será la función inversa de $g$ que escribimos como $g^{-1}=h$ . También hay que tener en cuenta que $f$ no tiene una función inversa.

Answer 2

$f:A\to B$ suele referirse a una función $f$ con dominio $A$ y codominio $B$ . Para cada $x\in A$ la función asigna un valor $f(x)\in B$ . Por ejemplo, la función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dado por $f(x)=x^2$ envía cada número real a su cuadrado, y se puede graficar en el plano.

Si $x\neq y$ implica $f(x)\neq f(y)$ (diferentes valores en el dominio corresponden a diferentes valores en el codominio), $f$ se dice que es inyectiva. Si para cada $y\in B$ hay algo de $x\in A$ tal que $f(x)=y$ (cada valor en el codominio es mapeado desde algún valor en el dominio), $f$ se dice que es sobreyectiva. Si $f$ es inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva. El ejemplo anterior no es ni inyectivo ni sobreyectivo.

Answer 3

$f$ es una función que mapea desde $A$ a $B$ .

Aquí, lo que su función está haciendo básicamente es tomar un elemento del conjunto $A$ y luego aplicarle algún proceso (cualquiera que sea su función), y luego darle un elemento en el conjunto $B$ .

Consideremos la función $f(x) = x$ . Podemos definir esta función como

$$f(x) : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}.$$

Esto nos dice que la función $f(x)$ mapea un elemento del conjunto de los números reales a un elemento del conjunto de los números reales. Si consideramos $x = 1 \in \mathrm{R} = A$ . Entonces vemos que al aplicar la función, obtenemos

$$f(x) = x \implies f(1) = 1$$

y así vemos que hemos mapeado $1$ a $1$ .

Piensa en ello como en la cosa "entrada - proceso - salida" que habrás aprendido en la escuela. Tu entrada es el elemento de tu dominio. Lo procesas usando tu función, tu salida (el elemento al que ha sido mapeado) es tu codominio.

Si miramos esta imagen de un mapa suryectivo de la Wikipedia:

Puedes ver un poco más claramente lo que significa "mapear". Fíjate en cómo cada elemento de $X$ se ha asignado/enviado a un elemento en $Y$ . ¿Qué es exactamente? $B,C,D$ dependerá de la función.

Answer 4

Para divertirse aún más, prepárese para:

$$\begin{align} f:X & \to Y\\ x & \mapsto y=f(x), \end{align} $$

y

$$X \overset f\to Y.$$

Me encuentro dibujando $X$ y $Y$ como dos grandes manchas, con una flecha con $f$ sobre ella muy a menudo. O a veces $X$ y $Y$ se dibujan como alfombras mágicas, cuando son superficies. O como segmentos de la línea real con una marca para el origen.

Answer 5

Podría ser instructivo ver esto en un entorno más general que sólo funciones que mapean algún tipo de número a otro tipo de número. Las funciones son una herramienta muy importante en la mayoría de los lenguajes de programación 1 donde a menudo se trabaja con datos mucho más complicados que los simples números 2 . Por ejemplo, en Haskell ,

f :: String -> Int

es una función que toma una cadena de caracteres (por ejemplo, "hullo") y produce un número entero. Esta función puede definirse como 3 como

f("How much is 5+6?") = 11
f("How many letters has the alphabet?") = 26
f("What is the answer to life, the universe, and everything?") = 42
f(x) = error("I haven't understood your question. You said: " ++ x)

En un intérprete interactivo, esto podría funcionar de la siguiente manera:

ghci> let f("How much is 5+6?") = 11; f("How many letters has the alphabet?") = 26; f("What is the answer to life, the universe, and everything?") = 42; f(x) = error("I haven't understood your question. You said: " ++ x)
ghci> f("What is the answer to life, the universe, and everything?")
42
ghci> f("How much is 5+6?")
11
ghci> f("How many years is my age?")
*** Exception: I haven't understood your question. You said: How many years is my age?

Sin embargo, si trato de definir la función de una manera que no es compatible con la firma de tipo 4 String -> Int El intérprete se quejaría de inmediato.

ghci> let f :: String->Int; f("How do you write out '7'?") = "Seven."

<interactive>:16:56:
    Couldn't match expected type `Int' with actual type `[Char]'
    In the expression: "Seven."
    In an equation for `f': f ("How do you write out '7'?") = "Seven."

porque "Seven." A diferencia de 7 no es un número entero, sino una cadena de caracteres.

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1 La mayoría de los lenguajes de programación son muy descuidados con su notación matemática, tienen funciones con "efectos secundarios", como imprimir algo en la pantalla o enviar un correo electrónico a alguien, lo que no tiene ningún sentido para las funciones matemáticas. En Haskell, esto está generalmente prohibido (tiene un truco de magia especial para hacer este tipo de cosas) excepto para los mensajes de error (que abortan todo el programa, por lo que la función no necesita molestarse en devolver un número en el cuarto caso).

2 Por supuesto, en matemáticas también se trabaja con datos mucho más complicados que los números, sólo que ese tipo de objetos son bastante más difíciles de entender que las cadenas de caracteres, creo.

3 Ten en cuenta que normalmente no necesitarías escribir todos esos paréntesis en Haskell, sólo los he usado para que parezca más familiar.

4 Lo que se llama "tipos" en los lenguajes de programación es casi (pero no del todo) lo mismo que el establece que se trata en las matemáticas.