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Frío/Ejemplos Útiles de Carácter y un Mínimo de Polinomios?

Le estoy enseñando a un Álgebra Lineal II de pregrado y para la sección sobre la característica y un poco de polinomios, yo realmente no quiero dar a los estudiantes un montón de matrices que no tienen ningún significado y pídales que encuentren el char/min poli. Estoy buscando frío/ejemplos útiles. Tienes alguna favoritos?

Hasta ahora, la única frío/ejemplos útiles que puedo pensar son la característica poli de un compañero de la matriz (desde compañero de matrices vendrá en otros cursos de matemáticas de los estudiantes podrían tomar) y el char&min de polígonos de las matrices de la forma a en la diagonal y b en todas partes (sí, esto es "cool" en mi opinión, porque una vez que lo hagas el caso general, usted puede simplemente leer la respuesta de una matriz específica de este formulario).

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Matthew Scouten Puntos 2518

Puede utilizar la mínima o polinomio característico $p(z)$ $A$ encontrar $(A - cI)^{-1}$ para cualquier escalar $c$ que no es un autovalor de a $A$: ampliar
$p(t+c) = \sum_{j=0}^m a_j t^j$ $p(z) = \sum_{j=0}^m a_j (z - c)^j$ , ten en cuenta que $a_0 = p(c) \ne 0$, y, a continuación, $(A - cI)^{-1} = - \sum_{j=1}^m \frac{a_j}{a_0} (A - cI)^{j-1}$

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fretty Puntos 7351

Puede ser un poco demasiado avanzado pero me parece que el uso de este material en curvas elípticas fascinante. Contando los puntos de mod $p$ sobre una curva elíptica resulta ser el mismo como conectar 1 en el polinomio característico de una cierta lineal mapa en un 2-el espacio tridimensional.

La mejor cosa es que una vez que usted haya hecho esto, usted puede determinar el número de puntos en CUALQUIER campo finito de característica p. Esto se reduce al hecho de que "los valores propios de la $n$th el poder de tal lineal mapa son las $n$th poderes de los autovalores de la lineal mapa".

(Por supuesto, todo esto puede ser reformulado en términos de matrices).

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Andrew Puntos 140

No siempre estoy de que lo bueno de un juez de la "frialdad", pero creo que el Clemente-Kac(-Sylvester) de matrices puede ser un poquitín interesante. Son $n\times n$ unsymmetric tridiagonal de las matrices que toman la forma

$$\begin{pmatrix}0&1&&&\\n&0&2&&\\&n-1&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&0&n\\&&&1&0\end{pmatrix}$$

que tiene de positivo y negativo entero de autovalores.

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Zero Puntos 1415

La respuesta a esta pregunta Raíces con la igualdad de partes fraccionarias uso de un elegante argumento con un mínimo de polinomios.

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