Me encontré con la siguiente integral. $$ \int\frac{dx}{1+\sin x} $$
No tengo ni idea de cómo resolverlo. He optado por la sustitución obvia de $u=1+\sin x$ pero luego te sale un molesto $\cos x$ dando patadas. Intenté eliminar esto escribiendo $\cos x=\sqrt{1-(u-1)^2}$ pero no conseguí que esta idea funcionara.
¿El hecho de haber escrito el $dx$ a la izquierda de la función que intentas integrar? (Entiendo lo que dices, y mi comentario es totalmente tangencial: Simplemente creo que lo que has escrito no tiene sentido, pero me interesaría saber si mi intuición es errónea...)
@user1729: Me parece incidental, pero a mí personalmente me reconforta mucho. Si puedes inventar alguna razón por la que viole alguna lógica, entonces por supuesto. Pero a mí me parece bien.
@user1729 la notación que has comentado se usa bastante cuando la integral se trata como un operador (que muchas veces lo es). No sé si es tan malo como $\sin^2(x)$ siendo el cuadrado del seno en lugar del seno del seno, pero de todos modos estamos atascados con él. Ron Gordon, has puesto correctamente el integrando entre paréntesis, lo que no habrías tenido que hacer si $dx$ estaba a la derecha. No hay violación lógica si se es consecuente con ello.
$$u=\tan(\frac{x}{2})\\ \sin x=\frac{2u}{1+u^2} \\ \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$$ ahora , en este caso $$u=\tan(\frac{x}{2}) \rightarrow \frac{1}{2}(1+\tan^2(\frac{x}{2}))dx=du \rightarrow dx=\frac{2du}{1+u^2}\\\frac{1}{1+\sin x}dx=\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\frac{2du}{1+u^2}=\frac{2du}{1+u^2+2u}\\=\frac{2du}{(1+u)^2}$$ así que $$\int \frac{1}{1+ \sin x}dx=\int\frac{2du}{(1+u)^2}=-2\frac{1}{1+u} +c$$
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