Una construcción de sigma-álgebras - seguramente no es nuevo, ¿verdad?

Question

Sé que no descriptivo de la teoría de conjuntos. He encontrado algo que debe ser bien conocido, por ser así de simple. Pero esto contradice algo que me ha dicho la gente inteligente; la pregunta es si es bien sabido (o al menos conocido).

Una versión completa de este post iba a ser un poco largo. A mí me parece claro que cualquiera que sepa la respuesta va a entender lo que quiero decir con el estándar del este y la costumbre; si no puedo aclarar.

Contexto. Decir $G$ es un grupo y $S\subset G$. Hay al menos tres maneras de decir lo $H$, en el subgrupo de $G$ generado por $S$, es:

1. Deje $S_0=S$, y deje $S_{n+1}$ $S_n$ junto con todos los $xy$$x^{-1}$$x,y\in S_n$. A continuación,$H=\bigcup_{n=0}^\infty S_n$. (Yo llamo a esto la parte inferior de la construcción.)

2. $H$ es el conjunto de todas las palabras en los elementos de $S$.

3. $H$ es la intersección de todos los subgrupos de $G$ contiene $S$ (esto tiendo a pensar como "top-down".)

No es que nadie nunca usaría (1) en este contexto. Pero ahora vamos a decir $S\subset P(X)$, el powerset de $X$, y queremos describir $A$, la sigma-álgebra generada por $S$. El análogo de (3) es lo que se ve en todos los libros sobre teoría de la medida; algunos de los libros incluyen el transfinito recursividad análogo de (1) cuando se quiere demostrar que los conjuntos de Borel en línea tienen cardinalidad $c$. Durante algún tiempo he especulado sobre si había algo así como (2) aquí.

Hay.

(2') Los elementos de $A$ son exactamente las raíces de los árboles $T$ tal que $T$ está bien fundada, cada nodo de $T$ es un subconjunto de a $X$, cada terminal nodo es un elemento de $S$, y cada nodo tiene uno o countably muchos subnodos; si un nodo $E$ tiene una subsnode $F$ $E$ es el comlement de $F$, mientras que si $E$ ha countably muchos subnodos es la unión de los subnodos. (Tomando ventaja de la arity para evitar el color de los nodos a decir que la operación que estamos usando es, probablemente, de mal gusto, lo siento.)

La prueba de que esto funciona es totalmente primaria y directa de la definición de $A$ como la intersección de todos los sigma-álgebras que contengan $S$ - no hay necesidad de no confundir a los estudiantes más pobres con los números ordinales. Y uno puede utilizar para mostrar, por ejemplo, que los conjuntos de Borel en línea tienen cardinalidad $c$.

Me gustaría tener la certeza de que esto era perfectamente conocido, salvo que las personas inteligentes han dicho que la única manera de mostrar el Borel conjuntos de cardinalidad $c$ es la inducción transfinita. De ahí la pregunta: Esto en realidad es estándar, esos tipos eran apenas conscientes de ello, como era hasta ayer, ¿verdad?

Answer 1

En primer lugar, un pequeño punto de vista técnico: en el fin de contar con ellos, es mejor buscar en los árboles que son subconjuntos de a $\omega^{<\omega}$, de forma explícita. Esto realmente le importa si el axioma de elección se produce un error: porque cada sucesor conjunto es contable, y el árbol está bien fundada, no quiere decir que el árbol es contable si el contable de la unión de contable de conjuntos no numerables! De hecho, hay modelos de ZF en el que cada conjunto de los reales es Borel. Véase también Arnold Miller maravilloso papel "de Largo Borel Jerarquías" (http://arxiv.org/abs/0704.3998)

Sus árboles son Borel códigos. Dado que una gran cantidad de descriptivo de la teoría de conjuntos que realmente hace uso de la inducción transfinita de una forma esencial, que a menudo no hablar de Borel códigos; sin embargo, son intuitivamente fundamental, aunque a menudo sólo implícita, y hay también muchas veces cuando explícitamente hablando de los códigos es de un valor incalculable, tales como efectivo descriptivo de la teoría de conjuntos (https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy#Lightface_hierarchy), la inversa de la matemática (como en https://math.berkeley.edu/~antonio/papers/Delta4Det.pdf), y álgebras de conjuntos más allá de la Borel (analítica, que contienen los conjuntos de Borel - se definen en términos de árbol de representaciones, encontrar el árbol de representaciones para las clases de conjuntos es una gran herramienta en el descriptivo de la teoría de conjuntos, y als ver https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity-Borel_set).

Tan lejos como muestra de que la Borel códigos de realmente hacer el código de los conjuntos de Borel, creo que hay un poco de sutileza en realidad: ¿cómo se puede demostrar que no es adecuado subconjunto de $A$ que es la clase de los conjuntos de Borel? Es decir, usted necesita para mostrar que cada contables fundada árbol de los rendimientos de un conjunto que debe ser Borel; para hacer esto a mí me parece que usted necesita para utilizar la inducción en el rango de la bien fundada árbol.

Esto puede ser hecho de una manera que no parece que el uso de la inducción transfinita: dada una bien fundada árbol, si la raíz no es Borel, a continuación, podemos encontrar algunos nodo que no es Borel, pero cuyos sucesores son Borel (de lo contrario podríamos construir un camino a través del árbol). Evidentemente, esto es una contradicción.

Yo diría, sin embargo, que esta es la inducción transfinita, en el disfraz.

Answer 2

Para un conjunto de reales $X$, definir $ord(X)$ a ser la longitud de Borel jerarquía en $X$. ¿Cuáles son los posibles valores de $ord(X)$? Arnold Miller demostró un montón de interesantes resultados sobre esto en su tesis. En particular, se demostró que, para cada una de las $\alpha < \omega_1$ es coherente tener un conjunto de reales $X$$ord(X) = \alpha$. Para construir este modelo, hizo uso de lo que él llama $\alpha$-obligando a añadir un genérico $\mathbf{\Pi}^0_{\alpha}$-set. Ver su libro en especial la Sección 7.