Simplificar \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10+{\sqrt{50+\sqrt{k}}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10-{\sqrt{50+\sqrt{k}}}$$ $$
No tengo ninguna buena idea. Necesito tu ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí está mi respuesta. Acabo de recibir el siguiente resultado:$$\frac{\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10+{\sqrt{50+\sqrt k}}}}{\sum_{k=1}^{2499}\sqrt{10-{\sqrt{50+\sqrt k}}}}=1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}=\cuna\frac{\pi}{16}.$$
Prueba: Supongamos que $\sum$ es $\sum_{k=1}^{2499}$. Deje que el numerador y el denominador de ser $a$ y $B$ respectivamente. Dejando de $a_k=\sqrt{10+\sqrt{50+\sqrt k}}, b_k=\sqrt{10-\sqrt{50+\sqrt k}}$, podemos representar $A, B$ $A=\sum a_k, B=\sum b_k.$ Dejando de $p_k=\sqrt{50+\sqrt k}$ y $q_k=\sqrt{50-\sqrt k}$, ya que ${p_k}^2+{q_k}^2=10^2$ y $p_k\gt0, q_k\gt0$, existe un número real $0\lt x_k\lt \frac{\pi}{2}$ tal que $p_k=10\cos x_k, q_k=10\pecado x_k$. Entonces, tenemos $$a_k=\sqrt{10+10\cos x_k}=\sqrt{10+10\left(2{\cos^2{\frac{x_k}{2}}}-1\right)}=\sqrt{20}\cos \frac{x_k}{2},$$$$ b_k=\sqrt{10-10\cos x_k}=\sqrt{10-10\left(1-2{\sin^2{\frac{x_k}{2}}}\right)}=\sqrt{20}\sin \frac{x_k}{2}.$$ Entonces, desde $\sum a_k=\sum a_{2500-k}$, vamos a considerar $a_{2500-k}$. $$\begin{align}a_{2500-k}&=\sqrt{10+\sqrt{50+\sqrt{(50+\sqrt k)(50-\sqrt k)}}}\\&=\sqrt{10+\sqrt{50+{p_kq_k}}}\\&=\sqrt{10+\sqrt{50+100\cos {x_k}\sin {x_k}}}\\&=\sqrt{10+\sqrt{50(\cos {x_k}+\sin {x_k})^2}}\\&=\sqrt{10+\sqrt{50}\cdot\sqrt2\sin \left(x_k+\frac{\pi}{4}\right)}\\&=\sqrt{10+10\cdot2\cos \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\sin \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)}\\&=\sqrt{10\left(\cos \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\sin \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right)^2}\\&=\sqrt{10}\left(\cos \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)+\sin \left(\frac{x_k}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right)\\&=\frac{\left(\cos \left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{8}\right)\right)a_k+\left(\cos \left(\frac{\pi}{8}\right)-\pecado \left(\frac{\pi}{8}\right)\right)b_k}{\sqrt2}\\&=\sqrt{\frac{\sqrt2+1}{2\sqrt2}}a_k+\sqrt{\frac{\sqrt2-1}{2\sqrt2}}b_k.\end{align}$$ por lo tanto, $$A=\sqrt{\frac{\sqrt2+1}{2\sqrt2}}+\sqrt{\frac{\sqrt2-1}{2\sqrt2}}B.$$ Así, la prueba se ha completado con $$\frac AB=1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}. $$
Después de un tiempo, tengo el siguiente teorema de la misma manera que el anterior.
Teorema: Para cualquier número natural $n$, $$\frac{\sum_{k=1}^{n^2+2n}\sqrt{\sqrt{2n+2}+{\sqrt{n+1+\sqrt k}}}}{\sum_{k=1}^{n^2+2n}\sqrt{\sqrt{2n+2}-{\sqrt{n+1+\sqrt k}}}}=1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2}=\cot {\frac{\pi}{16}}.$$
Tenga en cuenta que el caso $n=49$ en este teorema es la pregunta en la parte superior.
P. S. creo que vale la pena agregar un enlace donde el usuario mercio siempre un fondo de por qué el teorema se cumple para cualquier $n$. (es un fondo, no una prueba. El teorema ya se ha probado.)
