Ejemplo de Álgebra Booleana que satisface distributiva de la ley, pero viola completa distributiva de la ley

Question

Más precisamente, me interesa saber el ejemplo de Álgebra Booleana $B$, tal que para cualquier $a, b, c \in B$, $a \cap (b \cup c) = (a \cap b) \cup (a \cap c)$, pero existe $\{ P_{ij}:i\in I, j \in J\} \subseteq B$, $\bigwedge_{i \in I}\vee_{j \in J}P_{ij} \neq \bigvee_{a \in J^I}\wedge_{i \in I}P_{ia(i)}$.

Agregado: Como recuerda Hagen von Eitzen comentario, yo también estoy interesado en saber si Axioma de Elección juega un papel en la completa distributiva de la ley. De verdad es necesario para el buen fin de todas las funciones de $J^I$en el lado derecho de completar distributiva de la ley para que sea significativo? En el caso finito, se suele especificar un orden de subformulaes para calculte. Es cierto infinitas operaciones?

En nuestro caso, el problema se reduce a si $I$ $J$ son bien ordenados, ya que podemos definir un orden lexicographic en $J^I$ inducida por el orden de $I$ $J$..

Answer 1

Esta es, esencialmente, tomado del Manual de Álgebras Booleanas (vol.1) (Ejemplo 14.3, p.214).

Considerar el orden parcial $P$ que consta de todos finito de funciones parciales $p : \omega \to \omega$, y deje $B$ denotar la regular-abrir el álgebra de $P$ (lo $P$ parcial-el fin de la topología). Este es un completo álgebra Booleana.

La fijación de $W \subseteq \omega$ del tamaño de la $\omega$, para cada una de las $i \in W$ definir $$\begin{gather} b_{i,0} = \{ p \in P : i \in \mathrm{dom} (p) , p(i) = 0 \} \\ b_{i,1} = - b_{i,0} = \{ p \in P : i \in \mathrm{dom} (p), p(i) \neq 0 \} \end{reunir}$$ Clearly $b_{i,0} + b_{i,1} = 1$ for all $yo$, and therefore $$\prod_{i \in W} \sum_{n < 2} b_{i,n} = 1.$$

Supongamos, sin embargo, que el $f : W \to 2$ es dado. Si $\prod_{i \in W} b_{i , f(i)} \neq 0$, entonces hay un $p \in P$ tal que $p \in b_{i , f(i)}$ todos los $i \in W$, lo cual es imposible como $p$ debe tener dominio finito. Por lo tanto, $\prod_{i \in W} b_{i , f(i)} = 0$ todos los $f : W \to 2$, y por lo tanto $\sum_f \prod_{i \in W} b_{i , f(i)} = 0$.