La visualización de los productos de $CW$ complejos

Question

Estoy aprendiendo acerca de los productos de CW complejos. Las fuentes que he visto hablar sobre el tema de la siguiente manera: dado espacios topológicos $X$ $Y$ con un CW descomposición, entonces podemos formar un CW descomposición de $X \times Y$ mediante la comprensión de la característica de los mapas como el producto de los mapas.

OK, pero a partir de $X \times Y$ y, a continuación, se rompe en las células asume (tal vez) de que tenemos una noción de lo $X \times Y$ parece. Estoy interesado en la comprensión de la estructura de $X \times Y$ por inductivamente la construcción de una célula compleja. Para la mayor parte, la fijación de los mapas parecen bastante duro para envolver mi cabeza alrededor. OK, estas cosas son difíciles de visualizar, pero es bueno intentarlo.

Supongamos que yo no sé lo $S^1 \times S^2$ es igual (yo no). Yo trato de conseguir una manija en su celda de la descomposición, utilizando para $S^1$ $S^2$ la descomposición con dos celdas cada uno. Para construirlo, me gustaría empezar con un $0$ celulares, adjunte una $1$ celular como en un círculo y, a continuación, conecte los dos esqueleto, que es una sola $D^2$ con límite se derrumbó a un punto. Así que los dos-esqueleto es $S^1 \vee S^2 $.

Ahora debo adjuntar un sólido tubo como un cannoli, y estoy tratando de entender la fijación de mapa. El límite del tubo tiene dos secciones planas $D^2$ y una curvas de la sección $S^1 \times I$. Necesito sujete las partes planas de la esfera de las curvas en la parte a del círculo. Básicamente tengo un sólido de anillos donde me identificar todos los límites de punto que tiene la misma posición en el círculo grande?

Es productivo para mí para tratar de visualizar las cosas de esta manera? Yo estoy golpeando mi cabeza contra ella.

Answer 1

En la mayoría de los casos la visualización de CW-complejo skeleta por skeleta en la manera que usted describe es inútil (mira a Mike comentario). Sin embargo existe una fórmula para hacerlo, a saber:

vamos a denotar por $\chi_{X^{(n)}}^{i} : S^{n-1} \to X^{n-1}, \chi_{Y^{(n)}}^{j} : S^{n-1} \to Y^{n-1}$ la fijación de mapas donde $i \in I_{n}, j \in J_{n}$ son los índices de ellas. Estamos definiendo:

$$(X \times Y)^{(n)} = \bigcup_{k + l = n} X^{(k)} \times Y^{(l)}$$

con la fijación de los mapas: $$\chi_{X \times Y ^{(n)}} = \bigsqcup_{k + l = n - 1} \bigsqcup_{i \in I_{k}, j \in J_{l}} \chi_{X^{(n)}}^{i} \times \chi_{Y^{(n)}}^{j}$$

observar que estamos colocando todos los $n$-células de aquí de una vez y que estos productos de la fijación de los mapas puede ser definido en forma canónica, porque de la siguiente observación:

$$(D^{k + l}, S^{k + l - 1}) = (D^{k} \times D^{l}, S^{k - 1} \times D^{l} \cup D^{k} \times S^{l - 1}).$$

Tratar de descomponer $S^1 \times S^2$ en que forma. Dudo que exista un mejor método para la comprensión de producto skeleta.

Answer 2

Creo que es útil tener una imagen. Aquí está uno de un sólido toro con células de descomposición: tomado del libro Nonabelian Topología Algebraica.

El algebraicas versión de un producto de la descomposición de células es una de las partes más difíciles de ese libro, que implica un complicado producto tensor. Una de las razones por las complicaciones es que el producto $E^m \times E^n$ donde $E^m$ tiene celular descomposición $e^0 \cup e^m$, no es tan simple, como Adán la respuesta de la muestra. El libro utiliza también una familia de cubos $I^m$, que son algo más conveniente para los productos a partir de los $I^m \times I^n\cong I^{m+n}$. Sin embargo, para obtener una expresión algebraica de la forma de las relaciones entre estos dos, es decir, el $E^m$ e las $I^m$, es una de las partes más difíciles del libro; es preciso decir que esta relación geométricamente se remonta en la homotopy teoría.

Algo relacionado con la descripción de una $3$-esfera como el subespacio de $\mathbb R^4$ $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 +x_4^2=1$ como la unión de dos sólidos tori uno de los cuales es dado por $x_1^2 +x_2^2 \leqslant 1/2$.

Para bajar el tono un poco, pero que podrían ayudar a su visualización, hay un divertido truco con la parte inferior del pijama de rayas. Cuidadosamente coser la parte de abajo dos piernas juntas a lo largo de los bordes de la parte inferior. A través de la parte superior del agujero, puede activar el cosido de pijama de adentro hacia afuera. Lo que sucede? ¿Alguien sabe de un enlace web en este?