El estándar de papel intuitivo de los números en los fundamentos de las matemáticas

Question

En mi carrera he sido formada en su mayor parte en el formal lado de las matemáticas, es decir, el estándar de la teoría de conjuntos y todos los clásicos de la rama de las matemáticas que utiliza la teoría de conjuntos.
Sin embargo, no estoy muy seguro acerca de la común "reglas" que son aceptados en el meta-matemáticas y, más específicamente, en los fundamentos de las matemáticas.

Tengo varias preguntas, pero todas ellas están relacionadas con la naturaleza de la intuitiva números naturales.
Voy a empezar desde lo formal lado, para explicar mi punto, pero estoy realmente interesado en lo intuitivo y metamathematical problemas.

Desde el punto de vista formal, tenemos un "conjunto" de los números naturales, $\mathbb N$, que se puede obtener, por ejemplo, por la de Von Neumann de la construcción:

$$0 = \emptyset$$ $$1 = \{0\}$$ $$2 = \{0,1\}$$

y así sucesivamente.

La existencia de un conjunto que contiene todos estos "formalizado" números naturales viene con el desarrollo de la teoría de conjuntos. Para ser concretos, voy a hablar de ZFC.

Sin embargo, ZFC tiene que ser sostenida en el primer orden de la lógica, y ambos son formalmente expresado en el "lenguaje" de primer orden de la lógica, que consiste en una colección de símbolos $\mathcal L = \{\wedge,\vee, \forall,\exists, ...\}$, y las reglas para formar las fórmulas con que los símbolos.

PRIMERA EDICIÓN. Es común ver en los libros de lógica que la de la colección de $\mathcal L$ de los símbolos de la lengua es "finito". Por otra parte, la palabra "conjunto" se utiliza (estoy usando "colección" con el fin de no combinar las cosas de diferentes contextos). El significado de "finito" en el metamath contexto no se puede referir a cualquier noción de "conjunto finito" de ZFC, porque esto sería circular (el problema es que, si yo soy "la construcción de la" teoría de conjuntos "nada", y la noción de "conjunto finito" viene más tarde, después de algunos teoría se hace, no puedo hablar de la "finitud" en el "ZFC sentido"). Así:

LA PRIMERA PREGUNTA. En qué sentido se entiende que la colección de símbolos $\mathcal L$ (destinado para la construcción de la lógica de primer orden) es considerado como "finito"? En qué sentido se entiende que la longitud de una fórmula de primer orden de la lógica es finito? Es implicado por una previamente aceptada noción intuitiva número natural? Por favor, necesito saber el punto de vista de uso, y no las opiniones de una forma muy personal amable.

SECOUND PROBLEMA. Cuando methamath teoremas se demuestran, a veces algunos "propiedades" de los números naturales se utilizan, como por ejemplo la inducción sobre el número de símbolos en una fórmula lógica. De nuevo, estas propiedades son las que hacen referencia a la intuitiva números naturales.

SECOUND PREGUNTA. ¿Cómo puedo estar seguro acerca de lo que las propiedades de los números naturales pueden ser aceptadas o no, en el metamath contexto? ¿Hay algún tipo de consenso sobre lo que intuitiva de las propiedades de los números naturales se pueden utilizar?

TERCERA EDICIÓN. Si una formales de primer orden de la teoría contiene los axiomas de Peano, a continuación, en la semántica lado hay un montón de no-estándar de los modelos... sin Embargo estoy aún más intrigado por el "modelo estándar", que es, de nuevo, la intuitiva números naturales.

TERCERA PREGUNTA. Son en realidad un "modelo"? Con el fin de demostrar que, ¿qué propiedades de intuitiva números naturales son comúnmente aceptados como "verdadero"?

PREGUNTA FINAL. ¿Existe un acuerdo sobre cuál es la intuitiva números naturales son y cuáles de sus propiedades son aceptadas y utilizadas en metamaths?

Answer 1

La respuesta habitual (o dodge, dependiendo de yuor posición filosófica) es hablar de la intención de modelo (más precisamente, la intención de interpretación) de los números naturales. Si tal cosa existe (y muchos matemáticos ¿creen que existe, incluyendo el constructivista Errett Obispo), entonces uno puede interpretar las referencias a "finito" en el meta-nivel de referirse a las cosas equinumerable con los individuos en la intención de modelo. Si usted no quiere creer en una intención de modelo , a continuación, usted también tiene que renunciar a la esperanza de un absolutamente riguroso desarrollo de las matemáticas "desde cero". Si o no usted realmente perder nada en el proceso una vez más depende de su posición filosófica. Kronecker, por cierto, no expresó ninguna opinión sobre la materia en la escritura. Lo que se notifica para que en su nombre es un rumor basado en Weber (que por cierto hizo un error cuando se refirió a "números enteros" en lugar de "números naturales").

Juat por curiosidad, miré hacia arriba "la intención de interpretación" en la wiki, y fue llevado a el siguiente comentario:

La intención de interpretaciones. Muchos lenguajes formales están asociados con una determinada interpretación que se utiliza para motivarlos. Por ejemplo, el primer orden de la firma de la teoría de conjuntos se incluye únicamente una relación binaria, ∈, que es la intención de representar la pertenencia, y el dominio de discurso en un primer orden de teoría de los números naturales está destinado a ser el conjunto de los números naturales. La intención de la interpretación es el llamado modelo estándar (un término introducido por Abraham Robinson, en 1960).[8]

Nota: el artículo definido, lo cual supongo que plantea la pregunta (es decir, el suyo). Aquí la referencia es el papel

Roland Müller (2009). "La Noción de un Modelo". En Anthonie Meijers. La filosofía de la tecnología y de ciencias de la ingeniería. Manual de la Filosofía de la Ciencia 9. Elsevier. ISBN 978-0-444-51667-1

que usted puede encontrar útil (aunque me apresuro a reconocer que nunca he leído). Si usted obtener algunas ideas me dejan saber.

El libro que el artículo se puede encontrar aquí.

Para una pregunta relacionada consulte ¿Qué son los números naturales? donde también se encuentra aceptado la respuesta contiene una defensa apasionada de la intención de interpretación sin mencionar el término ("categórico" y todo).

Answer 2

Voy a empezar diciendo que creo que no es exactamente un "estándar de opinión" para todas estas preguntas, así que voy a darte lo que he recogido de mi profesor de lógica y de mis lecturas.

Creo que es importante entender que suponemos que los axiomas de ZFC con el fin de hacer de la lógica. Así que ya tenemos las definiciones de finito cuando empezamos a definir nuestro primer orden de la lógica. De la misma manera podemos demostrar, de ZFC, que funciona la inducción en las fórmulas de las obras. Creo que esta espera debe aclarar la pregunta 1 y 2.

Para el problema 3, me gustaría destacar que la única razón por la que tenemos no estándar de los modelos es que los axiomas de Peano (específicamente de la inducción) no son totalmente expresable en el lenguaje de primer orden de la lógica. Nuestro mejor intento de formulación de primer orden de los axiomas es lo que tiene no estándar de los modelos.

Para la pregunta tres tenemos una situación similar a la de uno y de dos. Estamos trabajando dentro de la teoría de conjuntos cuando hacemos lógica para que el conjunto de Von Neumann números naturales existe y es muy real modelo.

Mientras que me han abordado las cuestiones relacionadas con la lógica de la pregunta de si existe un "estándar intuitiva de la noción de número natural" permanece abierto. No hay realmente ninguna manera de los matemáticos para decir con certeza que todos ellos tienen la misma noción de número natural.

Dicho esto, creo que casi todos matemático cree que comparten la misma idea de $\mathbb{N}$ (del mismo modo que para los reales y racionales y de otras cosas). Esta creencia se debe principalmente al hecho de que, hasta donde yo sé, no hay ninguna de las propiedades de los números naturales que la gente está en desacuerdo.

Esto no quiere decir que no es una idea intuitiva para todos los objetos matemáticos. Cuando se trata de conjuntos, algunas personas todavía no creen que ellos tienen la elección de la propiedad. Por lo tanto, existen múltiples intuitiva nociones de conjunto.

Edit: a Juzgar por los comentarios tengo que dar pruebas concretas de que el uso de ZFC en la lógica de las pruebas. El único que se me ocurre de la parte superior de mi cabeza está en mi asesor del papel de Dedekind-finito de conjuntos http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/ddiv.pdf de la Proposición 2.1 es una proposición acerca de la permutación de los modelos que utiliza de forma explícita el axioma de elección.

Answer 3

Esta pregunta, además de interesante, ha sido un desperdicio de comentarios, respuestas y recompensas. Ahora que todo ha terminado, me permite tirar en mis 2 centavos y le ilumine un poco más los problemas, en un intento de abordar el OP de cuestiones y preguntas (de nuevo, segundo intento), aunque con una vuelta de tuerca.

El título solo es problemático ya. No hay, de hecho, existe un estándar de papel intuitivo de los números en los fundamentos de las matemáticas? Si la respuesta hubiera sido afirmativa, entonces no hay duda de que habría sido una especie de consenso por parte de varios expertos en el MSE foro aquí. Pero todos los comentarios y respuestas indican que no hay ninguna tal papel . Por lo tanto, vamos a cortar el título en dos piezas, con el fin de obtener dos más susceptibles de preguntas:

• el estándar de papel de los números en los fundamentos de las matemáticas
• el papel de intuitivo de los números en los fundamentos de las matemáticas

La primera versión del título, más probablemente, habría dado lugar a los axiomas de Peano, o la de von Neumann de la construcción; todo muy estándar. Pero la segunda versión del título da lugar tot un no-estándar de la respuesta, aunque no es una "opinión de una manera muy personal de tipo" cual es mi siguiente punto.

Intuitiva números naturales se definen como la primera cosa en Intuitionism . Citado de esta referencia: La existencia de los números naturales es dado por la primera ley de intuitionism, que es por la percepción del movimiento de tiempo [ ... ]. Por lo tanto intuitionism parece estar bien en su a priori concepción-sin-axiomas de los naturales, que por lo tanto puede ser verdaderamente llamado intuitivo de los números . Sin embargo, la falta del excluido de la tercera regla en intuionism parece ser un obstáculo importante para el OP y es juzgado como una tontería por la mayor parte de los matemáticos de hoy en día, como se dijo anteriormente. En efecto: intuitionism no es estándar. Pero creo que no es perjudicial si alguien se da cuenta de los primeros principios de intuitionism - y, finalmente, olvida del resto. (Por cuanto de la lectura de las primeras páginas de "Das Kapital" no hacer a alguien un comunista!) En pocas palabras, que están a la izquierda, a continuación, con intuitionism-sin-el-problema ("color de rosa" intuitionism) / tipo de ingenuo constructivismo como pronunciadas por Leopold Kronecker: Morir ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk (traducido en inglés como: Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre). Así que este debe ser el OP intuitivo de los números. Yo no puedo pensar en nada mejor.

Answer 4

Para la primera pregunta, depende del contexto. Cuando se habla de estricta fundaciones, finito se suele decir finito en el sentido intuitivo. Esto es bastante importante en este contexto – en primer lugar nos permite evitar o posponer) ontológicas e intuitiva riesgos relacionados con el infinito, y, en segundo lugar, nos permite codificar todo el uso de algunos de numeración de Gödel.

Para la segunda pregunta, creo que la aritmética de Peano es generalmente aceptado, y suficiente para la prueba de más básicas los hechos fundamentales.

A la tercera pregunta, no creo que hay mucha controversia acerca de lo que un número natural es. Un número natural es un objeto que puede ser obtenida mediante la adición de $1$ a sí mismo algún número finito de veces (aunque "finito" puede ser controversial). Si el conjunto de todos los números naturales existe, sin duda es un modelo de cualquier interesantes de la teoría de la aritmética: son todas las aproximaciones de lo que los números naturales son similares.

La última pregunta está cubierto en la anterior, creo.