Bueno, por lo que anteriormente he publicado esta pregunta "la caída de una partícula en un campo de vectores " como una especie de tentáculo pregunta ya que el estudio de las integrales de línea con el fin de entrar en la superficie de las integrales y, finalmente, formas diferenciales y geometría diferencial y me puse a pensar acerca de mi pregunta del ejemplo y cómo resolverlo. Me he tomado un curso de álgebra lineal avanzada y la educación a distancia curso, pero la educación a distancia, por supuesto, nunca se hizo a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. Así que mi postula campo vectorial en el que me estoy cayendo de una partícula a es $$\mathbf{F}(x,y)=y\mathbf{i}-x\mathbf{j}$$ Una respuesta vino en la forma que en el fin de resolver la cuestión que he planteado, necesitaba encontrar una $\mathbf{r}$ tal que $\mathbf{r}'(t)=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$. Así que mi arbitrarias $\mathbf{r}(t)=(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))$, si puedo tomar la derivada de esta, ya que sólo un vector de valores de la función puedo conseguir $$\mathbf{r}'(t)=(\mathbf{x}'(t),\mathbf{y}'(t))$$ Ahora, $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\mathbf{F}(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))=\mathbf{y}(t)\mathbf{i}-\mathbf{x}(t)\mathbf{j}=(\mathbf{y}(t),-\mathbf{x}(t))$$ Así que mi ecuación se ha convertido en $$\mathbf{r}'(t)=(\mathbf{x}'(t),\mathbf{y}'(t))=(\mathbf{y}(t),-\mathbf{x}(t))$$ Esto me da un sistema de ecuaciones diferenciales a resolver: $$\mathbf{x}'(t)=\mathbf{y}(t)$$ $$\mathbf{y}'(t)=-\mathbf{x}(t)$$ Y aquí no estoy seguro de cómo proceder, o si esta es la correcta intution. La persona que escribió la respuesta en el último post me dio numérico método de Euler como un caso general, pero esto parece bastante solucionable y recta hacia adelante, pero yo no estoy viendo a donde moverse.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es bastante fácil ver la "partícula" se va en círculos; no necesitamos para resolver la ecuación diferencial o directamente introducir senos y cosenos; basta con fijarse en
$\mathbf r^2(t) = \mathbf r(t) \cdot \mathbf r(t) = \mathbf x^2(t) + \mathbf y^2(t); \tag{1}$
si podemos diferenciar esta con respecto a $t$ obtenemos
$\frac{d}{dt}(\mathbf r^2(t)) = 2\mathbf x(t) \dot{\mathbf x}(t) + 2\mathbf y(t) \dot{\mathbf y}(t), \tag{2}$
y si ahora usamos la ecuación diferencial
$\dot{\mathbf x}(t) = \mathbf y(t), \tag{3}$
$\dot{\mathbf y}(t) = -\mathbf x(t), \tag{4}$
sustituyendo (3) y (4) en (2) encontramos que
$\frac{d}{dt}(\mathbf r^2(t)) = 2\mathbf x(t) \mathbf y(t) - 2\mathbf y(t) \mathbf x(t) = 0. \tag{5}$
(5) muestra que $\Vert \mathbf r(t) \Vert^2 = \mathbf r^2(t)$ es constante, por lo tanto $\Vert \mathbf r(t) \Vert$ es constante; la partícula se mueve en un círculo de radio $\Vert \mathbf r(t_0) \Vert$ donde $t_0$ es un primer momento en el tiempo. Podemos hacerlo mejor, todavía sin resolver la ecuación diferencial: observe que el vector $\dot{\mathbf r}(t) = (\mathbf y(t), -\mathbf x(t))^T$ es de hecho ortogonal a $\mathbf r(t) = (\mathbf x(t), \mathbf y(t))$, por lo que es tangente al círculo en el que la partícula está restringido a moverse, que es, como hemos visto, de radio constante $\Vert \mathbf r(t_0) \Vert$ sobre el origen $(0, 0)^T$. De hecho, es fácil ver que el vector $\dot{\mathbf r}(t) = (\mathbf y(t), -\mathbf x(t))^T$ puntos en una de las agujas del reloj la dirección; además, la velocidad de la partícula, es decir, la velocidad a la que se recorre la distancia a lo largo del círculo en que se mueve, se da claramente por
$\Vert \dot{\mathbf r}(t) \Vert = \sqrt{\mathbf y^2(t) + \mathbf x^2(t)} = \Vert \mathbf r(t) \Vert = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert; \tag{6}$
observe que la velocidad es constante en magnitud; de hecho, esta magnitud es sólo el tamaño del radio de un círculo. Y puesto que la circunferencia de un círculo de radio $\Vert \mathbf r(t_0) \Vert$ está dado por $2\pi \Vert \mathbf r(t_0) \Vert$, se deduce que el círculo se recorre exactamente una vez cada $2\pi$ segundos (y aquí estoy suponiendo que estamos medir el tiempo en segundos); y desde un círculo, en términos de medida angular, es, precisamente, $2\pi$ radianes, vemos que la velocidad angular de la partícula sobre el punto de $(0, 0)^T$ es una constante de un radián por segundo en magnitud. Así que si $\theta$ es la central o de ángulo polar en nuestro sistema de coordenadas, entonces debemos
$\dot \theta = -1, \tag{7}$
o
$\theta (t) =\int_{t_0}^t (-1)ds = t_0 -t + \theta_0, \tag{8}$
donde elegimos $\theta$ aumentando en sentido antihorario, y $\theta_0 = \theta(t_0)$. En este punto es conveniente introducir senos y cosenos. Desde $(\mathbf x(t), \mathbf y(t))^T$ se encuentra en el circulo de radio de $\mathbf r(t_0)$, podemos escribir
$\mathbf x(t) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert \cos \theta(t) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert \cos (t_0 -t + \theta_0), \tag{9}$
$\mathbf y(t) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert \sin \theta(t) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert \sin (t_0 -t + \theta_0), \tag{10}$
que al parecer da una solución completa de la ecuación(s) (3)-(4) con las condiciones iniciales
$\mathbf x(t_0) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert \cos \theta_0, \tag{11}$
$\mathbf y(t_0) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert \sin \theta_0. \tag{12}$
El análisis anterior es un ejemplo de cómo una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, puede ser analizado y, a veces, incluso resolverse sin que en realidad la "solución", si usted toma mi significado: a veces hay formas de "llegar a" la solución sin recurrir a la formal cuadratura, o relacionados con, técnicas de sistemática. Por ejemplo, aquí hemos utilizado un análisis geométrico del campo de vectores $(-\mathbf y, \mathbf x)^T$. Métodos relacionados para que explota aquí se utilizaron en mis respuestas a esta pregunta y este uno.
Por supuesto, el uso (3), (4) para obtener $\ddot {\mathbf x} = \dot{\mathbf y}$, $\ddot {\mathbf y} = - \dot {\mathbf x}$ y desde allí desplazarse a $\ddot{\mathbf x} + \mathbf x = 0$, $\ddot{\mathbf y} + \mathbf y =0$, según lo sugerido por Adam Salz en su comentario, y a partir de ahí a que las soluciones son de la forma $C_1\sin (t + \theta_0)$, $C_2\cos(t + \theta_0)$, o combinaciones lineales de los mismos, con $C_1, C_2$ constantes, es parte de un generalmente aceptadas y el método sistemático que constituye una parte esencial de cualquier ODE solver del kit de herramientas. Y en una nota relacionada, la teoría de la matriz exponenciales, dirigida por el autómata en su comentario, es otra faceta de la joya , que en si mismo constituye un indispensable tewel ($\equiv \text {tool}$ ;)!); en el presente caso, este enfoque es particularmente simple; simplemente escribir (3), (4) como
$\dot {\mathbf r}(t) = \begin{pmatrix} \dot{\mathbf x}(t) \\ \dot{\mathbf y}(t) \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf x(t) \\ \mathbf y(t) \end{pmatrix} = J \mathbf r(t), \tag{13}$
donde
$J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \tag{14}$
que satisface
$J^2 = - I. \tag{15}$
Ahora es un hecho que nuestros OP Christopher Ernst pronto encuentro, si no lo ha hecho ya, que para cualquier constante de matriz $A$ podemos definir la matriz $e^{At}$, tal como podemos definir a $e^{\alpha t}$ para escalares $\alpha$, y que hemos
$\frac{d}{dt}e^{A(t - t_0)} = Ae^{A(t - t_0)}, \tag{16}$
como
$\frac{d}{dt}e^{\alpha(t - t_0)} = \alpha e^{\alpha (t - t_0)}, \tag{17}$
para que así como el
$\mathbf x(t) = e^{\alpha (t - t_0)} \mathbf x(t_0) \tag{18}$
resuelve
$\dot {\mathbf x}(t) = \alpha \mathbf x(t) \tag{19}$
con condición inicial $x(t_0)$$t = t_0$, por lo que tenemos
$\mathbf r (t) = e^{A(t - t_0)} \mathbf r(t_0) \tag{20}$
resuelve
$\dot {\mathbf r}(t) = A\mathbf r(t) \tag{21}$
con condición inicial $\mathbf r(t_0)$$t = t_0$. La aplicación de estas ideas a nuestra ecuación (13), encontramos que
$\mathbf r(t) = e^{J(t - t_0)} \mathbf r(t_0), \tag{22}$
y en el presente caso la matriz $e^{J(t - t_0)}$ es particularmente fácil de evaluar. A partir de (15), se desprende que el álgebra que intervienen en el cómputo de las $e^{J(t - t_0)}$ precisamente se asemeja a la de cálculo de $e^{i(t - t_0)}$ donde $i^2 = -1$ es el estándar complejo escalares $\sqrt{-1}$. Por lo tanto en realidad como
$e^{i(t - t_0)} = \cos(t - t_0) + i \sin(t - t_0), \tag{23}$
así
$e^{J(t - t_0)} = \cos(t - t_0) + J \sin(t - t_0), \tag{24}$
que fácilmente puede ser visto a través de un término por término de comparación de la potencia de la serie para$e^{i(t - t_0)}$$e^{J(t - t_0)}$; voy a dejar las cuestiones relativamente simples de la convergencia de estas series a mis lectores; que no son difíciles. (24) en combinación con (14):
$e^{J(t - t_0)} = \begin{bmatrix} \cos(t - t_0) & \sin(t - t_0) \\ -\sin(t - t_0) & \cos(t - t_0) \end{bmatrix}, \tag{25}$
y a partir de (22) y (11), (12) obtenemos
$\mathbf x(t) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert (\cos \theta_0 \cos (t - t_0) + \sin \theta_0 \sin(t - t_0)) \tag{26}$
y
$\mathbf y(t) = \Vert \mathbf r(t_0) \Vert (-\cos \theta_0 \sin (t - t_0) + \sin \theta_0 \cos(t - t_0)), \tag{27}$
que después de un poco de trígono-manipulación algebraica se considera que de acuerdo con (9) y (10). Así que algunos de los más convencionales, sistemática los procedimientos para resolver (3), (4), (13) y su parentela ecuaciones.
Hay, por supuesto, métodos numéricos, tales como el de Euler, la cual puede ser utilizada para calcular las soluciones a estas ecuaciones y mucho más complejo, general de sistemas; pero para problemas como el que se puso adelante en esta pregunta, que tiene relativamente fácil derivar, de forma cerrada de soluciones, la utilización de la aproximación numérica de los esquemas es de dudoso valor. Pero estos sistemas pueden ser utilizados para encontrar las soluciones a los sistemas que de otra manera inextricable; su estudio es un asunto amplio y complejo en su propio derecho. Así que con estas palabras que digo, adiós", " hasta que nos encontremos de nuevo!
Espero que esto ayude. Saludos, y como siempre
Fiat Lux!!!
