Calcular la suma de la serie infinita $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{4^n}$

Question

Un problema previo nos había solucionar $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n}$ que me calculado en $\frac{4}{3}$ mediante el uso de un poco de manipulación matemática.

Maravilloso. Gracias por todas las respuestas del sistema. Alguien podría sugerir una técnica alternativa que no implica la diferenciación?

Answer 1

Su suma es igual a

$$\frac{1}{4} +\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{4}{4^4}+ \cdots +\frac{n}{4^n}+\cdots.$$

Llame a esta suma $S$. Ahora resta de $S$ la suma $$\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots.$$ Si lo hacemos de una manera obvia, término por término, obtenemos $$\frac{1}{4^2}+\frac{2}{4^3}+\frac{3}{4^4}+ \cdots.$$

Tenga en cuenta que esta última suma es $(1/4)S$.

Poniendo las cosas juntos, y el uso de su cálculo de $1+1/4+1/4^2+\cdots$ (no del todo, empezamos a $1/4$), llegamos a la $$S-\frac{1}{3}=\frac{S}{4}.$$ Resolver para $S$. Nos encontramos con que $S=4/9$.

Comentario: El cálculo es un poco descuidado, se asume que las infinitas sumas pueden ser manipulados mucho como finito de sumas. No son teoremas acerca de potencia de la serie que uno podría utilizar para justificar las manipulaciones.

Pero (en este caso) no necesitamos estos teoremas. Deje $S_n$ la suma de los términos hasta el término $n/4^n$. Más o menos el mismo tipo de cálculo como el que hice se puede utilizar para encontrar una fórmula explícita para $S_n$. Entonces se puede calcular $\lim_{n\to\infty}S_n$, y obtén un riguroso derivación.

Podríamos utilizar los resultados del cálculo de $\sum n/4^n$ a abordar $\sum n^2/4^n$, y así sucesivamente. Pero los derivados enfoque es, sin duda impecables!

Answer 2

Como se ha calculado $\sum_{n>=0} x^n$$1/(1-x)$, diferenciar la serie de término sabio y multiplicar por x, que usted puede hacer para $x=1/4$ a medida que la serie converge. Esto le da a $\sum_{n>=0} n x^{n} = x/(1-x)^{2}$. Sustituto $x=1/4$ y observar que $\sum_{n>=0} n/4^n = 4/9$

Answer 3

Deje $f(x)=\sum_{n\geq0}x^n$. De esta forma se define una función en $(-1,1)$, igual a $\frac1{1-x}$. Usando las propiedades de la potencia de la serie, sabemos que $$\frac x{(1-x)^2}=xf'(x)=\sum_{n\geq1}nx^n$$ for the same values of $x$. Evaluating this equality at $\tfrac14$ sumas de su serie.

Answer 4

Bueno, usted puede hacer algunos de la serie de manipulaciones... en Primer lugar, puede escribir $$\sum_{n = 1}^{\infty} {n \over 4^n} = \sum_{n = 1}^{\infty}\,\sum_{m = 1}^n {1 \over 4^n}$$ Tenga en cuenta que por encima de la suma es sobre todos los $(m,n)$$m \leq n$. Así que si se cambia el orden de la suma de obtener $$\sum_{m = 1}^{\infty}\,\sum_{n = m}^{\infty} {1 \over 4^n}$$ El interior de la suma de una serie geométrica con plazo inicial ${\displaystyle{1 \over 4^m}}$ y la ratio de ${\displaystyle{1 \over 4}}$, por lo que las sumas a ${\displaystyle {{1 \over 4^m} \over 1 - {1 \over 4}} = {4 \over 3}{1 \over 4^m}}$. De modo que la suma total es $${4 \over 3}\sum_{m = 1}^{\infty} {1 \over 4^m}$$ La suma aquí es una serie geométrica que sumas a ${\displaystyle{1 \over 3}}$, por lo que su respuesta final es $${4 \over 3}\times{1 \over 3} = {4 \over 9}$$

Answer 5

Un simple planteamiento probabilístico:

Deje $X$ ser una variable aleatoria geométrica con probabilidad de éxito $p$, por lo que $$ {\rm P}(X=n)=(1-p)^{n-1} p, \;\; n=1,2,3,\ldots. $$ A continuación, la expectativa de $X$ es $$ {\rm E}(X) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{\rm P}(X = n)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n(1 - p)^{n - 1} p} = \frac{p}{{1 - p}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {n(1 - p)^n } . $$ Así $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {n(1 - p)^n } = \frac{{1 - p}}{p} {\rm E}(X). $$ Por otro lado, a partir de $$ {\rm E}(X) = p \cdot 1 + (1-p)(1+{\rm E}(X)), $$ tenemos $$ {\rm E}(X)=\frac{1}{p}. $$ Finalmente, $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {n(1 - p)^n } = \frac{{1 - p}}{p} {\rm E}(X) = \frac{{1 - p}}{p^2}. $$ Dejando $p=3/4$ da $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{n}{{4^n }}} = \frac{{1/4}}{{9/16}} = \frac{4}{9}. $$