Consideremos un espacio topológico compacto $X$ y una función continua $f$ actuando en $X$ . Una de las cantidades más importantes relacionadas con un sistema dinámico topológico de este tipo es la entropía.
Para cualquier medida de probabilidad $\mu$ en $X$ se puede definir la medida teórica (o Kolmogorov-Sinai) entropía . Sin referencia a ninguna medida, se puede definir el entropía topológica que tiene la buena propiedad de ser e invariante bajo homeomorfismo. Estas dos nociones están relacionadas a través de un principio variacional:
$$h_\mathrm{top} (f) = \sup_{\{\mu\ \mathrm{inv.}\}} h_\mu (f),$$
y también están relacionadas con la noción física de entropía de un sistema (bueno, la entropía KS lo está, al menos. El caso de la entropía topológica está menos claro para mí, aunque las cosas se comportan bien en los casos que conozco y que tienen un interés físico).
Dado un potencial continuo $\varphi:X \to \mathbb{R}$ se puede definir el presión topológica $P(\varphi, f)$ imitando la definición de la entropía topológica (otras definiciones incluyen la siguiente ecuación, y algunas extensiones para potenciales complejos). Entonces se puede obtener otro principio variacional:
$$P (\varphi, f) = \sup_{\{\mu \ \mathrm{inv.}\}} \left\{ \int_X \varphi \ d \mu + h_\mu (f) \right\}.$$
El RHS en el principio variacional anterior es el supremum de $\int_X \varphi \ d \mu + h_\mu (f)$ que es, hasta un cambio de signo (1), lo que se llama en física la energía libre del sistema. Y tratamos de maximizarla, como en la física (modulando el cambio de signo).
Así que parecería lógico que, al igual que tenemos entropía teórica y topológica, tuviéramos energía libre teórica y topológica. Y no encuentro por qué se quiere llamar "presión" a lo que es el máximo de la energía libre. Busqué en algunos trabajos antiguos de David Ruelle, pero no pude encontrar cómo se acuñó este término, y pronto me topé con el muro de "no está en Internet ni en la biblioteca". Puede que tenga algo que ver con los gases de las celosías, pero subrayo el "puede".
Así que mi pregunta es: ¿por qué esta cosa se llama presión?
- La primera pista es que la entropía tiene un signo positivo y no negativo. La segunda es que intentamos maximizar la cantidad, mientras que en física se intenta minimizarla. Otras pistas son el hecho de que, en los casos no compactos, una buena condición es tener $\lim_\infty \varphi = - \infty$ , de nuevo en oposición a la física.
Editar : He preguntado a tres personas que conocen el tema, pero ninguna me ha dado una buena respuesta (de hecho, he obtenido respuestas algo contradictorias). Estoy iniciando una recompensa para llamar la atención, pero esto podría ser más adecuado para MathOverflow...
