Creo que tengo una especie de prueba de la siguiente anidado expresión radical debido a Ramanujan para $x\ge 0$.
$$\large x+1=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+\cdots}}}}$$ for $ x\ge -1$
Sólo quiero saber si mi prueba está bien o hay un error, y si hay uno que solicitar a dar algunas sugerencias para eliminarlos. Gracias. La prueba es la siguiente:
Prueba: Vamos a definir $$ a_n(x)=\underbrace{\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+\cdots}}}}}_{n \ \mbox{terms}}$$ for $x\ge 0$ so that $$ a_1(x)=\sqrt{1+x},\ a_2(x)=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)}},\ a_3(x)=\cdots$$
y así sucesivamente. Desde $x\ge 0$ cada una de las $a_n$ está definido (estoy tomando sólo la raíz cuadrada positiva). También, se nota que $$a_{n+1}^2(x)=1+xa_{n}(x+1)$$
Ahora, se nota que $\{a_n(x)\}$ es un aumento de la secuencia y que $$a_n(x)<x+1$$ $\forall n\ge 1$, esto es fácil de demostrar por inducción de la siguiente manera:
Para $n=1$, $a_1(x)=\sqrt{1+x}<1+x$ desde $x\ge 0\Rightarrow 1+x\ge 1$. ASÍ que es cierto para $n=1$. De manera similar, la verdad puede ser demostrado por $n>1$.
A continuación, $a_n(x)$ converge a $$l(x)=\sup_{n}a_n(x)\le x+1$$ Ahora hago la siguiente afirmación:
Reclamo: $l(x)=x+1\quad \forall i\ge 0$
Prueba: Fix $x$. Deje $l(x)<x+1$. A continuación, $l(x)=x+1-\epsilon$ algunos $\epsilon>0$. Ahora, me dicen que no debe ser un $n$ tal que $$x+1-a_n(x)<\epsilon$$, and if that is true then $$a_n(x)>x+1-\epsilon=l(x)$$ which is a contradiction since $$l(x)=\sup_{n}a_n(x)$$ and then it implies that $$l(x)=x+1$$ To prove my claim it requires $$x+1-a_n(x) < \epsilon$$ Ahora, \begin{align} x+1-a_n(x) = & x+1-\sqrt{1+xa_{n-1}(x+1)} \\ \ =& \frac{(x+1)^2-({1+xa_{n-1}(x+1)})}{x+1+\sqrt{1+xa_{n-1}(x+1)} } \\ \ =& x\frac{(x+1)+1-a_{n-1}(x+1)}{x+1+\sqrt{1+xa_{n-1}(x+1)} } \\ \ <& \frac{x}{x+2}((x+1)+1-a_{n-1}(x+1))\\ \ <& \frac{x}{x+2}\cdot\frac{x+1}{x+3}((x+2)+1-a_{n-2}(x+2))\\ \ <& \frac{x}{x+n-1}\cdot \frac{x+1}{x+n} ((x+n-1)+1-a_{1}(x+n-1))\\ \ <& \frac{x}{x+n-1}\cdot \frac{x+1}{x+n}(x+n-\sqrt{x+n})\\ \ <& \frac{x(x+1)}{x+n-1} \end{align}
Ahora, si uno es capaz de encontrar a $n$ tal que $$\frac{x(x+1)}{x+n-1}<\epsilon\\ \Rightarrow x< \frac{-(1-\epsilon)+\sqrt{(1-\epsilon)^2+4\epsilon(n-1)}}{2}$$ a continuación, hemos terminado.
Ahora, desde el límite superior parece que siempre existe algo de $n$ que satisface este requisito. De ahí el reclamo está probado.
