Cómo resolver un límite relacionado con la serie?

Question

Cómo resolver el siguiente límite? $$\lim_{N\rightarrow+\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^N$$

Answer 1

Fijar un entero positivo $M$. A continuación, para $N \geq M$, tenemos

$$ 0 \leq \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^N \leq \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^M. $$

Así

$$ \begin{align*}0 &\leq \liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^N \leq \limsup_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^N \\ &\leq \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^M = \int_{0}^{1} x^M \; dx = \frac{1}{M+1}. \end{align*}$$

Ahora tomando la $M \to \infty$, tanto liminf y limsup se desvanece. Por lo tanto el límite converge a 0.

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Aquí es mucho más sencillo argumento: Desde $x \mapsto x^N$ es el aumento de $x \geq 0$, tenemos

$$ \left(\frac{k}{N}\right)^{N}\frac{1}{N} \leq \int_{\frac{k}{N}}^{\frac{k+1}{N}} x^{N} \; dx. $$

Así

$$ 0 \leq \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac{k}{N}\right)^N \leq \sum_{k=0}^{N-1}\int_{\frac{k}{N}}^{\frac{k+1}{N}} x^{N} \; dx = \int_{0}^{1}x^N \; dx = \frac{1}{N+1}.$$

(Aquí el punto de inicio de la sumatoria del índice se ha cambiado a $k = 0$ en lugar de $k = 1$, que no hace ninguna diferencia.) Por lo tanto, teniendo $N \to \infty$ demuestra la desaparición del límite.

Answer 2

Revisión de algunas grandes $M$ y supongamos $N>M.$ Dividir la serie en la primera $N-M-1$ y la última $M$ términos como esta: $$ \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N-1} \left( \frac{k}{N} \right)^N =\frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N-M-1} \left( \frac{k}{N} \right)^N +\frac{1}{N} \sum_{k=N-M}^{N-1} \left( \frac{k}{N} \right)^N .$$

El sumando de la primera suma es maximizada por $k=N-M-1$, por lo que

$$\frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N-M-1} \left( \frac{k}{N} \right)^N< \frac{N-M-1}{N} \left( \frac{N-M-1}{N} \right)^N< \left( \frac{N-M-1}{N} \right)^N \to \exp(-M-1)$$

como $N\to \infty.$

El sumando de la segunda suma es maximizada por $k=N-1$ $$\frac{1}{N} \sum_{k=N-M}^{N-1} \left( \frac{k}{N} \right)^N< \frac{M}{N} \left(\frac{N-1}{N} \right)^N < \frac{M}{N} \to 0$$

como $N\to\infty.$

Por lo tanto para suficientemente grande $N$, $$ \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N-1} \left( \frac{k}{N} \right)^N < \exp(-M-1).$$

Para cualquier $\epsilon>0$ podríamos haber escogido $M$ lo suficientemente grande como para que $\exp(-M-1) < \epsilon,$ por lo que el límite es $0.$