Lo que hace que la convergencia de la Iteración fracciones continuas de convergents?

Question

Aquí es un pequeño descubrimiento que me topé con un par de semanas atrás. Espero que al menos una persona va a encontrar que es lo suficientemente interesante como para que me ayude. La iterada fracciones continuas de convergents (o convergents constantes) se explican en https://oeis.org/wiki/Convergents_constant . Entre otras cosas, hay que averiguar que un seleccionados al azar número entre 2 y 3 tiene un convergents constante de 2.3484074702792306..., pero el mismo no es cierto para la 2.1, 2.2, 2.5, y quizás para algunos otros valores. También para la mayoría de las 0 < x < 1 el mismo proceso de iteración fracciones continuas devuelve 0.5557531042780459..., pero no es así para x =0.1, 0.11, 0.12, 0.2, 0.25, 0.34, 0.35, 0.43, 0.45, 049, 0.5, 0.65, 0.75, algunos de los valores de < 66/1477 y tal vez por un par de otros valores.

Me gustaría saber por qué estos números y los que como ellos son excepciones a la regla.

Answer 1

Posiblemente un poco más de luz se produce, si tenemos en cuenta para expresar que la iteración utilizando la matriz de representación de la continua-fracciones-evaluación.
Aquí podemos insertar los coeficientes de la cf en una secuencia de matrices, cuya forma es
$ \qquad M_0(a)= \begin{bmatrix} 0 & 1\\1 & a \end{bmatrix}$
y para el producto de matrices según los coeficientes en el cf permitir la generalización de la notación
$ \qquad M_0(a,b,c,...,h)= M(a)*M(b)*...*M(h)$

La iteración se refiere a los productos parciales, utilizada para una nueva continuación de la fracción:
$ \qquad M_1(a) = M_0(a); M_1(b) = M_0(a)*M_0(b) = \begin{bmatrix} 1 & b\\a & a*b+1 \end{bmatrix} ; \ldots $

Esto es sencillo de programar, por ejemplo, en Pari/GP. Por desgracia, esto no es exactamente: el $M_1()$ creado por este procedimiento no son compatibles con la forma $ \qquad \begin{bmatrix} 0 & 1\\1 & a \end{bmatrix}$
, tienen en general (entero) los valores en todos los cuatro entradas, así que no reflejan las "simple-continuó-fracción" de la representación. Así que para modelar el proceso de como lo has descrito en tu pregunta necesitamos un poco de normalización.

Lo que he intentado siguiente fue para insertar el evaluado parcial fracciones continuas como racional (o real) de los números en lugar de los números enteros en las posiciones de la un en $M_1(a)$ - lo $M_1(a) = M_0(a); M_1(b) = M_0( {ab+1 \over b}), \ldots $ según la evaluación parcial de la convergents. Pero aún esto requiere entonces de otro tipo de re-normalización (no conducen al mismo valor límite), debido a que las partes fraccionarias de los coeficientes, que ahora debe ser "desplazado" al resto de los cont-frac-expresión.

Pero tal vez aquí nos encontramos con el efecto, ¿por qué el líder de los coeficientes de la iterada fracciones continuas convergen para algunas constantes: porque después de las evaluaciones posteriores de los coeficientes de un umbral determinado para la parte fraccionaria de un coeficiente no se puede superar (en la siguiente iteración).Pero yo no lo veo muy claro...