Un sencillo sistema de ecuaciones de 2 grados

Question

Si tenemos: $$x^2 + xy + y^2 = 25$$ $$x^2 + xz + z^2 = 49$$ $$y^2 + yz + z^2 = 64$$

¿Cómo calculamos $$x + y + z$$

Answer 1

Hay soluciones $(x,y,z)=(-5,0,8), \ (5,0,-8)$ teniendo diferentes sumas $3,-3$ y otros dos que encontré en maple, numéricamente hablando $(-2.2,-3.5,-5.6)$ con la suma alrededor de $-11.35$ y lo mismo con todos los signos positivos. Así que mi opinión es que no hay una forma inteligente de llegar a la suma, sin embargo la cosa es en el peor de los casos cuadrática para la tercera respuesta.

AÑADIDO: Restando ecuaciones y factorizando, se pueden obtener tres expresiones para $x+y+z$ del tipo constante sobre una diferencia de dos de las coordenadas. Al ponerlas iguales por pares se encuentra que o bien algunas dos de las varibles son iguales (no he comprobado que no lleva a ningún sitio), o bien en cada caso la misma relación $8x-13y+5z=0$ resultados. Resolviendo esto para $y$ y al introducirlo en las ecuaciones, y trasteando un poco, se llega a una ecuación para $z$ que factores como $(z-8)(z+8)(129z^2-4096).$ Así que además de las dos soluciones enteras puede haber otras para las que $z=\pm (64/\sqrt{169})$ .

Volviendo a las otras ecuaciones se obtiene entonces $(x,y,z)=(25,40,64)/\sqrt{129}$ [notación que significa deividir cada uno por el radical] como solución, así como su opuesto obtenido haciendo todos los signos negativos. Observando otras combinaciones para los valores de $x,y$ de las ecuaciones (dado esto $z$ ) no produjo otras soluciones, de acuerdo con lo que encontró Maple.

Answer 2

$$x^2 + xy + y^2 = 25 \dots (1)$$ $$x^2 + xz + z^2 = 49 \dots(2)$$ $$y^2 + yz + z^2 = 64 \dots(3)$$

$(2)-(1)$

$x(z-y)+(z+y)(z-y)=24$

$\Rightarrow (x+y+z)(z-y)=24$

Del mismo modo, obtenemos ,

$(x+y+z)(y-x)=15$ por $(3)-(2)$

$(x+y+z)(z-x)=39$ por $(3)-(1)$

Claramente, dejemos que $1/\lambda=(x+y+z)\ne 0$

Entonces tenemos,

$(z-y)=24\lambda$

$(y-x)=15\lambda$

$\Rightarrow x+z-2y=9\lambda$

$\Rightarrow 3y=1/\lambda+9\lambda\Rightarrow y=1/3\lambda+3\lambda$

Ahora resuelve para x y pon la primera ecuación para encontrar el valor de $\lambda$ .