¿Cuál es la función $f(x)=x^x$ ¿se llama? ¿Cómo se integra?

Question

Para los números reales $x > 0$ la función $f(x)=x^x$ parece bastante bueno.

¿Existe un nombre para esta función? Obviamente, ya se ha estudiado antes.

Crece más rápido que las funciones exponenciales y los factoriales pero más lento que exponenciales dobles .

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Podemos encontrar su derivada escribiéndola como $$f(x) = x^x = e^{\ln x^x} = e^{x \ln x}$$

Esto nos permite utilizar la regla de la cadena para obtener

$$f'(x) = e^{x \ln x} (\ln x + \frac{1}{x} \cdot x) = x^x (1+ \ln x)$$

Desde $x^x$ nunca es igual a cero, si fijamos $f'(x) =0$ obtenemos $$1+ \ln x = 0$$

que da

$$ x= e^{-1} = \frac{1}{e}$$

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Esta aparición (¿tal vez poco sorprendente?) de $e$ puede ser suficiente para que esta función sea interesante. En cualquier caso, he intentado encontrar su integral indefinida y he fracasado estrepitosamente.

Supongo que mi pregunta es en parte una petición de referencias... ¿dónde puedo leer más sobre $x^x$ ?

Answer 1

Mi artículo favorito sobre $x^x$ es El $x^x$ Huso que apareció en la revista Mathematics Magazine en 1996. La idea principal es visualizar el hecho de que podemos escribirlo como $$x^x = e^{x (\ln(x)+2k\pi i)}.$$ Tenga en cuenta que para cada elección de $k$ obtenemos una rama diferente del logaritmo. Dado un número real cualquiera $x$ La mayoría de estas ramas tendrán valores complejos. Así, podemos trazar una curva en 3D. Para $k=0$ (es decir, la rama principal), se ve algo así:

Si utilizamos más ramas simultáneamente, obtenemos algo así:

Si se traza el gráfico estándar de $y=x^x$ incluyendo los valores de $(p/q)^{p/q}$ para $p$ negativo y $q$ impar y positivo. Por lo tanto, el gráfico podría ser algo así.

Desde la perspectiva compleja, los puntos surgen como manchas donde uno de los hilos espirales perfora el $x$ - $z$ avión.

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En cuanto a la integración, Mathematica (que usé para hacer las imágenes), no devuelve un valor para la antiderivada - me sorprendería que se pudiera expresar en forma cerrada. No obstante, la integral puede expresarse como una serie (como en la respuesta de UserX) y existe el fabuloso hecho, conocido como el sueño del segundo año que $$\int_0^1 x^x \, dx = -\sum_{n=1}^{\infty} (-n)^{-n},$$ que fue mencionado en los comentarios por Lucian.

Además, la integral puede evaluarse ciertamente de forma numérica. Si definimos $$F_k(x) = \int_{-\infty}^x e^{x (\ln(x)+2k\pi i)} \, dx,$$ Entonces las gráficas de las funciones resultantes tienen un aspecto similar al siguiente:

Answer 2

Suponiendo que conozcas las series, ya que la integral de las mismas no se puede expresar en funciones elementales(si dejas que cualquier función entonces sólo puedes definir $\mathfrak{F}(x)=\int_0^x t^t\,\mathrm{d}t$ ), entonces;

$$\int x^x\mathrm{d}x=\int e^{x\log x}\mathrm{d}x=\int e^{\log x^x}\mathrm{d}x\;\;\stackrel{\text{series for }e^x}{=}\;\;\int \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n\log^n x}{n!}\mathrm{d}x$$