Es la función de densidad de probabilidad único?

Question

Es la función de densidad de probabilidad (pdf) de único?

Por ejemplo, he visto el pdf de la distribución uniforme escrito en dos versiones diferentes, una con desigualdad estricta y el otro no es estricta. A partir de la definición, el pdf es una función de $f$ tal que $P(X\in B)=\int_B f$. Así que parece que el valor de $x$ a un punto en particular en realidad no importa. Estoy en lo cierto?

Answer 1

De hecho. Si dos (medibles) funciones coinciden, excepto en un conjunto de medida cero, ambos pueden ser o no puede ser igualmente elegido como la densidad de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

Por ejemplo, considere la Borel función de $f$ definido en $\mathbb R$ $f(x)=1$ por cada irracionales $x$ $(0,1)$ $f(x)=0$ lo contrario. Para cada variable aleatoria $X$ distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$ y cada subconjunto de Borel $B$ de $\mathbb R$, $\mathrm P(X\in B)=\int\limits_Bf(x)\mathrm dx$. Por lo tanto la función de $f$ es de hecho una densidad para la distribución uniforme en $[0,1]$, tan adecuado como el de los comuneros de opciones de $\mathbf 1_{[0,1]}$ o $\mathbf 1_{(0,1)}$.