Es allí una manera gráfica de representar el límite de los números ordinales hasta el $\omega_1$?

Question

Para algunos contables ordinales, he encontrado que hay algunos, como el gráfico de "cerillo" la representación de los ordinales $\omega^2$ , y la espiral de la representación de los números ordinales hasta el $\omega^\omega$.

Advertencias: Tanto la interfaz del truco de "comprimir" los naturales (contables infinitamente muchos), ya que el enfoque de un límite ordinal. Que comprimirlos en un "similares" manera como los picos de la función $\sin(1/x)$ $x$ se aproxima a cero. Así que, en cierto modo, estas representaciones hacer uso de un mayor cardinalidad del conjunto: la línea real. Pero hay innumerables muchas límite de los números ordinales, y que la compresa de contables muchos en innumerables muchos a medida que nos acercamos $\omega_1$. Así, no necesitamos un conjunto de cardinalidad $\aleph_2$ a representar un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$ puede comprimir para llegar a un límite? Es allí cualquier representación gráfica de un conjunto de cardinalidad $\aleph_2$ n de todos modos? (o estamos limitados por nuestra intuición cardinalidad $\aleph_1$, como físico el espacio 3-D es de la misma cardinalidad?

Answer 1

Hay indescriptiblemente grande contables de los números ordinales. Y cuando digo, que quiero decir con toda seriedad. Por ejemplo, un relativamente simple e $\omega_1^{CK}$ cual es el menor ordinal que no es $R\subseteq\Bbb N^2$ que es computable (en el sentido de que existe una máquina de Turing de decidir si es o no un par ordenado es en $R$ o no), y el tipo de orden de $R$ (en su dominio) es un ordinal, esto solo es un ordinal tan grande que es incomprensible para pensar en lo complicado que iba a parecer.

De hecho, incluso mucho, mucho, mucho, mucho más pequeño ordinales como $\varepsilon_0$ están tan complicado de entender visualmente que es casi imposible ver así.

Todo esto se ve aumentada por el hecho de que fue mencionado por tomasz y yo en un hilo anterior, no hay un verdadero acuerdo entre los modelos de la teoría de conjuntos (incluso aquellos que tienen exactamente el mismo ordinales) en los que el número ordinal $\omega_1$ o $\omega_2$. Este a diferencia de los pequeños números ordinales como $\omega$ o $\omega^\omega$.

Desde todos esos puntos de vista, $\omega_1$ es este extremo lejano del universo, que sabes que está ahí, pero no tienen idea de lo que está más allá del horizonte. Salvo que usted sabe que la mayor parte del universo está más allá de ese horizonte, a pesar de sus mejores esfuerzos.

Pero, de hecho, $\omega_1$ es sólo el borde de los contables universo. No es ni siquiera cerca de la final del universo. Así que ni siquiera eso.

Mi consejo como visualmente pensando en grandes números ordinales es simplemente pensando en $\omega^\omega$, reiteró hasta la saciedad (o ad infinitum, si usted no recibe náuseas), y algo de "desaparecer" de la orilla, sabiendo que no importa lo lejos que subir la escala, se quedan con el mismo segmento final en la orden. No es una verdadera representación visual, ni intenta ser. Es sólo la manera de ver los números ordinales, y me parece útil. Si quiero poner $\omega_1$$\omega_2$, entonces me imagino que dos líneas, una es mucho más largo que el otro, y de alguna manera el trabajo con eso.

Es necesario entender que nuestra mente no puede comprender una infinidad visualmente. Esta es la razón por la que tenemos tantos "paradojas" infinitos objetos. Están más allá de nuestros sueños más salvajes. Y si se quiere argumentar que es fácil discernir los números reales a partir de los números enteros, permítanme que les recuerde que los números racionales son también contables.

Answer 2

Entonces no sería un bijection entre los elementos de $\omega_1$ y el conjunto de $R$ de todas las representaciones. Supongamos que cada una de estas ordinal tiene un número finito de representación. Ya que cada representación es finito, hay un conjunto finito $R_0$ con el vacío de la representación, de un conjunto finito $R_1$ de las representaciones de longitud 1, un conjunto finito $R_2$ de las representaciones de longitud 2, y así sucesivamente. A continuación, $R=\bigcup R_i$ es una contables de la unión finita de conjuntos y así es en la mayoría de los contables.

Pero $\omega_1$ es incontable. Así que no hay tales representaciones pueden existir.