La cantidad de puntos a probar una identidad trigonométrica?

Question

Estoy tomando un trigonométricas identidad de otro post, arbitrariamente.

$$\frac{2\sec\theta +3\tan\theta+5\sin\theta-7\cos\theta+5}{2\tan\theta +3\sec\theta+5\cos\theta+7\sin\theta+8}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}.$$

Además de la habitual de acercamiento por parte de la reformulación/la simplificación de las expresiones utilizando primaria identidades, uno podría usar un "perezoso", mediante la evaluación de ambos miembros por varios $\theta$ y la comprobación de la igualdad.

Esto funciona para los polinomios, si la sonda de ellos en $d+1$ puntos, donde $d$ es el grado.

Puede que se derivan de las normas generales sobre el número de igualdades necesarias para garantizar que las expresiones trigonométricas de una cierta complejidad son de hecho idénticos ?

Answer 1

Si el numerador y el denominador de una expresión trigonométrica (supone que la igualdad de $0$) son trigonométricas polinomios de grado en la mayoría de las $k$, entonces la fracción es una función racional de $u = \exp(i \theta)$ de grado en la mayoría de las $2k$, e $4k+1$ distintos ángulos.

Esto coincide con el número de coeficientes (menos de 1 por escala) que se necesita para escribir un cociente de dos polinomios trigonométricos.

No veo cómo se podría hacer una comparación exacta de los valores en muchos puntos distintos, sin tener una prueba separada de la identidad. Para la evaluación numérica de la cuestión de la precisión necesaria es similar a la de las funciones racionales de la misma medida y el tamaño de los coeficientes, pero tal vez hay alguna simplificación de saber $|u|=1$.