¿Qué es la consistencia dimensional, matemáticamente?

Question

Cuando se realizan cálculos simbólicos que implican medidas físicas, es común verificar que el resultado final sea dimensionalmente consistente. (Si estoy calculando una frecuencia, es mejor obtener algo con unidades 1/s al final). Matemáticamente, ¿de dónde proviene el requisito de consistencia dimensional?

Para hacer esto más concreto, digamos que tengo alguna EDP fea que describe un problema físico. Después de escribirla, es solo un montón de símbolos; ya no hay nada que indique que $x$ es una longitud y $t$ es un tiempo. ¿Cómo podemos saber de antemano que las expresiones dimensionalmente inconsistentes nunca serán soluciones válidas? ¿Cómo puedo demostrar, en general, que la solución correcta tiene la "mezcla correcta" de cantidades dimensionales?

Entiendo las razones físicas y estoy familiarizado con el uso del análisis dimensional, pero estoy buscando una explicación más matemática.

Answer 1

Teorema Pi de Buckingham. Ver por ejemplo, el capítulo 1 de Bluman y Anco, Métodos de Simetría e Integración para Ecuaciones Diferenciales.

Answer 2

Puedes verificar la consistencia dimensional en todo momento. $\sin x$ o $\exp x$ solo están definidos si $x$ es adimensional. Si tomas el seno o exponencial de alguna combinación, esta debe ser adimensional. Esta es una forma muy efectiva de detectar errores en una derivación. Incluso si tienes un problema adimensional, debe mantenerse correcto si le agregas dimensiones. Si tienes el cuadrático estándar, $ax^2+bx+c=0$ simplemente puedes asignarle a $x$ dimensiones de longitud. Entonces $a$ debe ser longitud$^{-2}$ y así sucesivamente. Si tu resultado final no respeta esto, has cometido un error.