Solución a $y'=y^2-4$

Question

Reconozco esto como una ecuación diferencial separable y recibo la expresión:

$\frac{dy}{y^2-4}=dx$

El problema surge al evaluar la integral del lado izquierdo:

$\frac{dy}{y^2-4}$

Intento hacer esta integral a través de la descomposición parcial de la fracción utilizando la siguiente lógica:

$\frac{1}{(y+2)(y-2)} = \frac{A}{y+2}+\frac{B}{y-2}$

Por lo tanto, $1=Ay-2A+By+2B$ .

Como los coeficientes deben ser iguales en ambos lados de la ecuación, se deduce que:

$0=A+B$ y $1=-2A+2B$ . Por lo tanto, $A=-B$ , $B=\frac14$ , $A=-\frac14$ .

Así, la ecuación diferencial debe transformarse en:

$-\frac{1}{4} \frac{dy}{y+2} + \frac14 \frac{dy}{y-2} = x+C$

Resolviendo esto se debería obtener:

$-\frac14 \ln|y+2| + \frac14 \ln|y-2| = x+C$

que se simplifica como:

$\ln(y-2)-\ln(y+2)=4(x+c)$

$\ln[(y-2)/(y+2)]=4(x+c)$

$(y-2)/(y+2)=\exp(4(x+c))$

$y-2=y*\exp(4(x+c)+2\exp(4(x+c))$

$y-y\exp(4(x+c))=2+2\exp(4(x+c))$

$y(1-\exp(4(x+c)))=2(1+\exp(4(x+c)))$

$y= 2(1+\exp(4(x+c)))/(1-\exp(4(x+c)))$

Sin embargo, cuando se hace en Mathematica/Wolfram Alpha el resultado se da como (prueba en la imagen adjunta)

$\frac14 \ln(2-y) -\frac14 \ln(2+y) = x + C$

y devuelve una respuesta de:

$y= 2(1-\exp(4(x+c)))/(1+\exp(4(x+c)))$ .

¿Puede alguien averiguar dónde he cometido un error? Lo único que se me ocurre es algo relacionado con la evaluación de los valores absolutos de los logaritmos naturales.

Answer 1

$$ \begin{align} x &=\int\frac{\,\mathrm{d}y}{y^2-4}\\ &=\frac14\int\left(\frac1{y-2}-\frac1{y+2}\right)\,\mathrm{d}y\\ &=\frac14\log\left(\frac{y-2}{y+2}\right)+C \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \frac{y-2}{y+2}=ke^{4x} $$ o, resolviendo para $y$ , $$ y=2\,\frac{1+ke^{4x}}{1-ke^{4x}} $$ Obtenemos su forma de respuesta dejando $k\lt0$ . Es difícil ver esto ya que se necesita usar un complejo $c$ para obtener la respuesta equivalente. Comprueba tu respuesta en la ecuación original. Verás que funciona.

Answer 2

El sábado por la mañana: Me gusta el punto de robjohn sobre $\log |x|$ dando al alumno unas expectativas incorrectas. Lo que escribí aquí es correcto y cuidadoso, pero las mismas conclusiones se obtienen al eliminar los signos de valor absoluto y hacer los cálculos tres veces, $y < -2,$ $-2 < y < 2,$ $y > 2.$ En algún momento se revelarán las asíntotas verticales, cómo las soluciones con $y > 2$ alcanzar una asíntota vertical y luego saltar por debajo a $y < -2.$ Así es como suelo hacer las cosas, dividiendo los casos antes.

Perdí el hilo de mis pensamientos. Sin embargo, si quiero $\int \frac{1}{x} dx,$ sin valores absolutos, la respuesta sería $\log x$ para $x > 0,$ pero $\log (-x)$ para $x < 0.$

$-\frac14 \log|y+2| + \frac14 \log|y-2| = x+C$

que se simplifica como:

$\log|y-2|-\log|y+2|=4(x+c),$ o

$$ \left| \frac{y-2}{y+2} \right| = k e^{4x} $$ con $k > 0$ para las soluciones no constantes. El elemento dentro de los signos de valor absoluto es una transformación lineal fraccionaria o de Mobius, una vez que decidimos sobre la $\pm$ signos la inversa viene dada por la matriz $$ \left( \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right) $$ Si $y > 2$ o $y < -2,$ esas desigualdades se mantienen para siempre, tenemos $$ \frac{y-2}{y+2} = k e^{4x} $$ y tenemos el de robjohn $$ y = \frac{2k e^{4x} + 2}{-k e^{4x} + 1}. $$ Existe una discontinuidad de salto: para algún valor de $x,$ encontramos que $-k e^{4x} + 1= 0,$ En efecto, $e^{4x} = 1/k,$ $4x = - \log k,$ x = $-(1/4) \log k.$ Para $x < -(1/4) \log k,$ tenemos $y > 2.$ Hay un asíntota vertical , entonces para $x > -(1/4) \log k,$ tenemos $y < -2.$

En todos los casos, las curvas son asintóticas a las líneas $y=2$ y $y=-2.$ Además, hay que tener en cuenta que la EDO es autónoma. Dada una de las soluciones descritas, obtenemos otra solución desplazando $x$ por la constante que queramos. Si lo preferimos, podemos eliminar el multiplicador $k$ haciendo hincapié en los desplazamientos horizontales.

Sin embargo, si comenzamos con $-2 < y < 2,$ entonces esas desigualdades se mantienen para siempre, tenemos $$ \frac{y-2}{y+2} = - k e^{4x} $$ y obtenemos la continua $$ y = \frac{-2k e^{4x} + 2}{k e^{4x} + 1}. $$

En la foto de abajo, tomé $k=1.$ Para encontrar todas las demás soluciones, sustituya $x$ por algunos $x - x_0.$ Dicho de otro modo, podemos tomar $e^{-4 x_0}= k;$ por lo tanto, podemos dar cuenta de todas las soluciones ya sea variando $k,$ o borrando $k$ y ajustando $x_0.$ Tenga en cuenta también que la parte con $y>2$ y la parte con $y < -2$ están unidos, la misma asíntota vertical.